TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 75

Beweisen Sie mit Hilfe von Kongruenzen, dass die Summe zweier ungerader Quadratzahlen keine Quadratzahl sein kann.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Die Teilung von geraden Quadratzahlen durch 4 ergibt 0 Rest. Beweis: Eine gerade Zahl kann man als 2k darstellen. Diese quadriert (2k)² ergibt 4k². Sprich ein Vielfaches von 4. Daraus folgt 0 Rest.

Die Teilung von ungeraden Quadratzahlen durch 4 ergibt 1 Rest. Beweis: Eine ungerade Zahl kann man als 2k + 1 darstellen. Diese quadriert (2k + 1)² ergibt 4k² +4k + 1. Sprich ein Vielfaches von 4 plus 1. Daraus folgt 1 Rest.

Lösungsvorschlag von david

$a$ sei eine ungerade Zahl, dann gilt:

$a=2x+1$

Daraus folgt:

$a^{2}={\bigl (}2x+1{\bigr )}^{2}=4x^{2}+4x+1=4(n^{2}+n)+1\equiv 1{\bmod {4}}$

Wenn a gerade wäre, würde gelten:

$a=2x$, also $a^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}\equiv 0{\bmod {4}}$

Die Summe zweier ungerader Quadratzahlen a², b² ist dann:

$a^{2}+b^{2}=(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}=4(x^{2}+x+y^{2}+y)+2\equiv 2{\bmod {4}}$

Somit liegt die Summe der Quadratzahlen weder in der Restklasse 1 von ungeraden Quadratzahlen, noch in der Restklasse 0 von geraden Quadratzahlen. Daraus folgt, dass a²+b² keine Quadratzahl sein kann.

Alternative (und kürzere) Antwort:

a² ≡ 1 mod 4

b² ≡ 1 mod 4

a²+b² ≡ 1+1 mod 4 => a²+b² ≡ 2 mod 4 => Keine Quadratzahl!