Angabe

Zeigen Sie, daß $\sqrt{3}$ irrational ist!

Lösungsvorschlag

Man geht per indirektem Beweis vor und sagt man kann $\sqrt{3}$ als rationale Zahl darstellen:

$\sqrt{3} \in ℚ \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{p}{q}, p, q \in ℤ$

Dazu nimmt man noch an, dass der $g g T (p, q) = 1$ .

Durch umformen kann man also folgendes feststellen:

$3 = \frac{p^{2}}{q^{2}}$

$p^{2} = 3 q^{2} \Rightarrow 3 | p^{2} \Rightarrow 3 | p \Rightarrow p = 3 x$

Weiter kann man für $p$ also $3 x$ einsetzen:

$(3 x)^{2} = 3 q^{2}$

$3 x^{2} = q^{2} \Rightarrow 3 | q^{2} \Rightarrow 3 | q$

Jetzt kann man erkennen, dass $\sqrt{3} \notin ℚ$ , weil $3 | p \land 3 | q$ widerspricht der Grundbedingung $g g T (p, q) = 1$