TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS09/Beispiel 1

Angabe

Zeigen Sie, daß ${\sqrt {3}}$ irrational ist!

Lösungsvorschlag

Man geht per indirektem Beweis vor und sagt man kann ${\sqrt {3}}$ als rationale Zahl darstellen:

${\sqrt {3}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow {\sqrt {3}}={\frac {p}{q}},p,q\in \mathbb {Z}$

Dazu nimmt man noch an, dass der $ggT(p,q)=1$.

Durch umformen kann man also folgendes feststellen:

$3={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

$p^{2}=3q^{2}\Rightarrow 3|p^{2}\Rightarrow 3|p\Rightarrow p=3x$

Weiter kann man für $p$ also $3x$ einsetzen:

$(3x)^{2}=3q^{2}$

$3x^{2}=q^{2}\Rightarrow 3|q^{2}\Rightarrow 3|q$

Jetzt kann man erkennen, dass ${\sqrt {3}}\notin \mathbb {Q}$, weil $3|p\land 3|q$ widerspricht der Grundbedingung $ggT(p,q)=1$