TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 39

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert.)

$a_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}$

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Lösungsvorschlag

$a_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}={\frac {n\cdot (n-1)!}{n\cdot n^{n-1}}}\Rightarrow {\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot 1!}{n\cdot n\cdot n\cdot \ldots \cdot n^{1}}}$ $\Rightarrow lim_{x\to \infty }{\frac {n!}{n^{n}}}=0$

Es ist zumindest mal zu sehen, dass der Quotient schneller ansteigt und selbst wenn ich $(n-1)$ gleichsetze mit $n$ usw. so bleibt zumindest noch ${\frac {1}{n}}$ übrig

Verwende das Sandwich Theorem Video (Englisch) https://www.youtube.com/watch?v=d62835jxd2s

Lösungsvorschlag Nr. 2

So wie ich das sehe, kann man hier ganz einfach das Sandwich-Theorem anwenden:

$0\leq {\frac {n!}{n^{n}}}\leq {\frac {1}{n}}$

Da ${\frac {1}{n}}$ offensichtlich gegen 0 konvergiert, konvergiert $a_{n}$ nach dem Sandwich-Theorem ebenfalls gegen 0.