TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 39

Man untersuche die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle $n\in \mathbb{N}$ definiert.)

$a_n=\frac{n!}{n^n}$

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Lösungsvorschlag

$a_n=\frac{n!}{n^n}=\frac{n\cdot (n-1)!}{n\cdot n^{n-1}}\Rightarrow \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 1!}{n\cdot n\cdot n\cdot \dots \cdot n^1}$ $\Rightarrow li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{n!}{n^n}=0$

Es ist zumindest mal zu sehen, dass der Quotient schneller ansteigt und selbst wenn ich $(n-1)$ gleichsetze mit $n$ usw. so bleibt zumindest noch $\frac{1}{n}$ übrig

Verwende das Sandwich Theorem Video (Englisch) https://www.youtube.com/watch?v=d62835jxd2s

Lösungsvorschlag Nr. 2

So wie ich das sehe, kann man hier ganz einfach das Sandwich-Theorem anwenden:

$0\le \frac{n!}{n^n}\le \frac{1}{n}$

Da $\frac{1}{n}$ offensichtlich gegen 0 konvergiert, konvergiert $a_n$ nach dem Sandwich-Theorem ebenfalls gegen 0.

Lösungsvorschlag Nr. 3

Meine Idee wäre hier gewesen ganz einfach $n^n$ herauszuheben.

Wenn man $a_n=\frac{n!}{n^n}=\frac{n\cdot (n-1)!}{n\cdot n^{n-1}}\Rightarrow \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 1!}{n\cdot n\cdot n\cdot \dots \cdot n^1}$ betrachtet, dann sieht man, dass oben und unten alle Terme n-mal vorkommen.

Die Idee ist also: $a_n=\frac{n!}{n^n}=\frac{n^n\cdot ((\frac{n}{n^n})\cdot (\frac{n-1}{n^n})\cdot (\frac{n-2}{n^n})\cdot \dots \cdot (\frac{1}{n^n}))}{n^n}$ - hier kann man dann das $n^n$ streichen und es bleibt: $(\frac{n}{n^n})\cdot (\frac{n-1}{n^n})\cdot (\frac{n-2}{n^n})\cdot \dots \cdot (\frac{1}{n^n})$

Davon kann man dann noch den Limes bilden, da der Nenner immer größer ist als der Zähler: $\Rightarrow li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}(\frac{n}{n^n})\cdot (\frac{n-1}{n^n})\cdot (\frac{n-2}{n^n})\cdot \dots \cdot (\frac{1}{n^n})=0$