TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 39

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert.)

$a_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}$

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Lösungsvorschlag

$a_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}={\frac {n\cdot (n-1)!}{n\cdot n^{n-1}}}\Rightarrow {\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot 1!}{n\cdot n\cdot n\cdot \ldots \cdot n^{1}}}$ $\Rightarrow lim_{x\to \infty }{\frac {n!}{n^{n}}}=0$

Es ist zumindest mal zu sehen, dass der Quotient schneller ansteigt und selbst wenn ich $(n-1)$ gleichsetze mit $n$ usw. so bleibt zumindest noch ${\frac {1}{n}}$ übrig

Verwende das Sandwich Theorem Video (Englisch) https://www.youtube.com/watch?v=d62835jxd2s

Lösungsvorschlag Nr. 2

So wie ich das sehe, kann man hier ganz einfach das Sandwich-Theorem anwenden:

$0\leq {\frac {n!}{n^{n}}}\leq {\frac {1}{n}}$

Da ${\frac {1}{n}}$ offensichtlich gegen 0 konvergiert, konvergiert $a_{n}$ nach dem Sandwich-Theorem ebenfalls gegen 0.

Lösungsvorschlag Nr. 3

Meine Idee wäre hier gewesen ganz einfach $n^{n}$ herauszuheben.

Wenn man $a_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}={\frac {n\cdot (n-1)!}{n\cdot n^{n-1}}}\Rightarrow {\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot 1!}{n\cdot n\cdot n\cdot \ldots \cdot n^{1}}}$ betrachtet, dann sieht man, dass oben und unten alle Terme n-mal vorkommen.

Die Idee ist also: $a_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}={\frac {n^{n}\cdot (({\frac {n}{n^{n}}})\cdot ({\frac {n-1}{n^{n}}})\cdot ({\frac {n-2}{n^{n}}})\cdot \ldots \cdot ({\frac {1}{n^{n}}}))}{n^{n}}}$ - hier kann man dann das $n^{n}$ streichen und es bleibt: $({\frac {n}{n^{n}}})\cdot ({\frac {n-1}{n^{n}}})\cdot ({\frac {n-2}{n^{n}}})\cdot \ldots \cdot ({\frac {1}{n^{n}}})$

Davon kann man dann noch den Limes bilden, da der Nenner immer größer ist als der Zähler: $\Rightarrow lim_{n\to \infty }({\frac {n}{n^{n}}})\cdot ({\frac {n-1}{n^{n}}})\cdot ({\frac {n-2}{n^{n}}})\cdot \ldots \cdot ({\frac {1}{n^{n}}})=0$