TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 120

Man zeige: $(C,\preceq )$ ist Halbordnung mit z = a + ib $\succeq$ w = c + id, falls a > c oder (a = c und b $\geq$ d).

Weiters gebe man drei verschiedene komplexe Zahlen $z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} \backslash \{0\}$ an, für die $z_{1}\succeq z_{2}$ und $z_{3}\preceq 0$ , aber $z_{3}z_{1}\succeq z_{3}z_{2}$ gelten.

Hilfreicheis

Halbordnung

Halbordnung

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

• Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$,
• Antisymmetrie: $\forall a,b\,\in A:(aRb\wedge bRa)\Rightarrow a=b$,
• Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Anmerkung

Der im folgenden gezeigte Lösungsvorschlag ist sehr formal gehalten, und ich bezweifle, dass jemand den Rechengängen folgen kann, wenn er/ sie es nicht selbst durchrechnet.

Wer einen etwas einfacheren und vielleicht etwas logischeren Lösungsweg sehen will, sei auf dieses Beispiel verwiesen.

Lösungsvorschlag

zuerst noch kurz die Definition der Zahlen, die im Folgenden verwendet werden:

${\begin{alignedat}{2}w:=a&+ib\\z:=c&+id\\u:=e&+if\\\end{alignedat}}$<br\>

Reflexitivität

$wRw\Longleftrightarrow w\preceq w\Longleftrightarrow \left(a>a\lor (a=a\land b\geq b)\right)$

Also reflexiv ist die Relation.

Antisymmetrie

$wRz\land zRw\Rightarrow w=z$<br\> $wRz\Longleftrightarrow w\preceq z\Longleftrightarrow \left(a>c\lor (a=c\land b\geq d)\right)$<br\> $zRw\Longleftrightarrow z\preceq w\Longleftrightarrow \left(c>a\lor (c=a\land d\geq a)\right)$<br\>

$w\preceq z\land z\preceq w\Longleftrightarrow \left(a>c\lor (a=c\land b\geq d)\right)\land \left(c>a\lor (c=a\land d\geq a)\right)$<br\>

Jetzt vereinfacht man den rechten Teil, man beachte dabei folgende "Regeln":<br\>

$a>b\lor a=b\Longleftrightarrow a\geq b$<br\>
$a>b\land a\geq b\Longleftrightarrow a>b$<br\>
$a>b\lor a\geq b\Longleftrightarrow a\geq b$<br\>
$a\leq b\land a\geq b\Longleftrightarrow a=b$<br\>

${\begin{alignedat}{3}\left(a>c\lor (a=c\land b\geq d)\right)&\land (c>a\lor (c=a\land d\geq b))&\qquad &{\text{einmultiplizieren von }}a>c{\text{ links bzw. }}c>a{\text{ rechts}}\\(a>c\lor a=c)\land (a>c\lor b\geq d)&\land (c>a\lor c=a)\land (c>a\lor d\geq b)&&{\text{zusammenfassen von}}>{\text{ und }}={\text{ zu }}\geq \\(a\geq c)\land (a>c\lor b\geq d)&\land (c\geq a)\land (c>a\lor d\geq b)&&{\text{umsortieren}}\\a\geq c\land c\geq a\land (a>c\lor b\geq d)&\land (c>a\lor d\geq b)&&{\text{zusammenfassen von}}\leq {\text{ und }}\geq {\text{ zu }}=\\a=c\land (a>c\lor b\geq d)&\land (c>a\lor d\geq b)&&{\text{einmultiplizieren von }}a=c\end{alignedat}}$<br\> <br\> ${\begin{alignedat}{3}(a=c\land a>c\lor a=c\land b\geq d)&\land (a=c\land c>a\lor a=c\land d\geq b)&\qquad &{\text{hier faellt einiges weg weil }}a=c\land a>c{\text{ immer falsch ist }}\\a=c&\land b\geq d\land d\geq b&&{\text{zusammenfassen von}}\leq {\text{ und }}\geq {\text{ zu }}=\\a=c&\land b=d\\\Rightarrow w&=z\end{alignedat}}$<br\>

Man kann also durch geschicktes umformen zeigen, dass die Relation antisymmetrisch ist.

Transitivität

$wRz\land zRu\Rightarrow wRu$

<br\>

$z_{1}=1+2i$