TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 120

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Man zeige: (C,⪯) ist Halbordnung mit z = a + ib ⪰ w = c + id, falls a > c oder (a = c und b ≥ d).

Weiters gebe man drei verschiedene komplexe Zahlen z1,z2,z3∈ℂ∖{0} an, für die z1⪰z2 und z3⪯0 , aber z3z1⪰z3z2 gelten.

Hilfreicheis

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Halbordnung
Halbordnung
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Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

  • Reflexivität: ∀a∈A:aRa,
  • Antisymmetrie: ∀a,b∈A:(aRb∧bRa)⇒a=b,
  • Transitivität: ∀a,b,c∈A:(aRb∧bRc)⇒aRc.

Anmerkung

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Der im folgenden gezeigte Lösungsvorschlag ist sehr formal gehalten, und ich bezweifle, dass jemand den Rechengängen folgen kann, wenn er/ sie es nicht selbst durchrechnet.

Wer einen etwas einfacheren und vielleicht etwas logischeren Lösungsweg sehen will, sei auf dieses Beispiel verwiesen.


Lösungsvorschlag

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zuerst noch kurz die Definition der Zahlen, die im Folgenden verwendet werden:

w:=a+ibz:=c+idu:=e+if<br\>

Reflexitivität

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wRw⟺w⪯w⟺(a>a∨(a=a∧b≥b))

Also reflexiv ist die Relation.

Antisymmetrie

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wRz∧zRw⇒w=z<br\> wRz⟺w⪯z⟺(a>c∨(a=c∧b≥d))<br\> zRw⟺z⪯w⟺(c>a∨(c=a∧d≥a))<br\>

w⪯z∧z⪯w⟺(a>c∨(a=c∧b≥d))∧(c>a∨(c=a∧d≥a))<br\>

Jetzt vereinfacht man den rechten Teil, man beachte dabei folgende "Regeln":<br\> 

a>b∨a=b⟺a≥b<br\>
a>b∧a≥b⟺a>b<br\>
a>b∨a≥b⟺a≥b<br\>
a≤b∧a≥b⟺a=b<br\>


(a>c∨(a=c∧b≥d))∧(c>a∨(c=a∧d≥b))einmultiplizieren von a>c links bzw. c>a rechts(a>c∨a=c)∧(a>c∨b≥d)∧(c>a∨c=a)∧(c>a∨d≥b)zusammenfassen von> und = zu ≥(a≥c)∧(a>c∨b≥d)∧(c≥a)∧(c>a∨d≥b)umsortierena≥c∧c≥a∧(a>c∨b≥d)∧(c>a∨d≥b)zusammenfassen von≤ und ≥ zu =a=c∧(a>c∨b≥d)∧(c>a∨d≥b)einmultiplizieren von a=c<br\> <br\> (a=c∧a>c∨a=c∧b≥d)∧(a=c∧c>a∨a=c∧d≥b)hier faellt einiges weg weil a=c∧a>c immer falsch ist a=c∧b≥d∧d≥bzusammenfassen von≤ und ≥ zu =a=c∧b=d⇒w=z<br\>

Man kann also durch geschicktes umformen zeigen, dass die Relation antisymmetrisch ist.

Transitivität

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wRz∧zRu⇒wRu

<br\>

(a>c∨(a=c∧b≥d))∧(c>e∨(c=e∧d≥f))a>c bzw. a>e einmultiplizierena≥c∧(a>c∨b≥d)∧c≥e∧(c>e∨d≥f)in die Disjunktive Normalform bringen (alles ausmultiplizieren)((a≥c∧c≥e∧a>c)∨(a≥c∧c≥e∧b≥d))∧((a≥c∧c≥e∧c>e)∨(a≥c∧c≥e∧d≥f))vereifachen bzw. Zusammenfassen((c≥e∧a>c)∨(a≥c∧c≥e∧b≥d))∧((a≥c∧c>e)∨(a≥c∧c≥e∧d≥f))aus (c≥e∧a>c) folgt a>e⇒((a>e)∨(a≥e∧b≥d))∧(a>e∨(a≥e∧d≥f)(a>e)) herausheben(a>e)∨(a≥e∧b≥d∧d≥f))aus (b≥d∨d≥f) folgt b≥f⇒(a>e)∨(a≥e∧b≥f)⟺(a>e)∨(a=e∧b≥f)<br\>

So ist also auch gezeigt, dass die Relation Transitiv ist.

Da alle drei Eigenschaften erfüllt sind, ist die Relation also auch eine Halbordnung.

Die drei Zahlen

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Einen Möglichkeit die Zahlen zu wählen:

z1=1+2i<br\> z2=i<br\> z3=−i<br\> z1⪰z2⟺1>0∨(1=0∧2≥1)0⪰z3⟺0>0∨(0=0∧0≥−1)z3⋅z1=2−iz3⋅z2=1z3⋅z1⪰z3⋅z2⟺2≥1∨(2=1∧−1≥0)

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