TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 141

Seien $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ injektive Abbildungen. Man zeige, daß dann auch

$h=g\circ f\colon A\to C$ injektiv ist. $(g\circ f)(x)=g(f(x))$

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Hilfreiches

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$ Mathematik für Informatik (4.Auflage): Seite 45, Satz: 1.70

Lösungsvorschlag

Zuerst legen wir mal fest, dass gelten soll $f(a)=f(b)$

Damit kann man folgenden Zusammenhang aufschreiben:

$h(a)=(g\circ f)(a)=g(f(a))=g(f(b))=h(b)$

Aus der Injektivität von g folgt:

$g(f(a))=g(f(b))\Rightarrow f(a)=f(b)$

Und aus der Injektivität von f folgt:

$f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$

Daher kann man zusammenfassend auch schreiben

$h(a)=h(b)\Rightarrow a=b$

wodurch gezeigt wäre, dass $h=g\circ f$ injektiv ist, wenn g und f injektiv sind.

Alte Lösung

hier der Link auf eine alte Lösung, wo allerdings der Beweis mMn nicht korrekt geführt ist