TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 10

Man beweise mittels vollständiger Induktion

$\sum \limits _{j=1}^{n}j\left({j+1}\right)={n \over 6}\left({2n^{2}+6n+4}\right)$, wobei $\left({n\geq 1}\right)$

Beweis

(i) Induktionsanfang
$n=1:n=1\to 2={1 \over 6}\left({2+6+4}\right)={{12} \over 6}=2$

(ii) Induktionsschritt

Induktionsvoraussetzung:

$\sum \limits _{j=1}^{n}j\left({j+1}\right)={n \over 6}\left({2n^{2}+6n+4}\right)$ für ein beliebiges $n\geq 1$

Induktionsbehauptung:

$\sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={n \over 6}\left({2n^{2}+6n+4}\right)+(n+1)(n+2)$



$\sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={{n\left({n+1}\right)\left({2n+4}\right)+\left({n+1}\right)\left({6n+12}\right)} \over 6}$

$\sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={{\left({n+1}\right)\left({2n^{2}+10n+12}\right)} \over 6}$

$\sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={{n+1} \over 6}\left({2\left({n+1}\right)^{2}+6\left({n+1}\right)+4}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ q.e.d.$

Lösung von Schnuffel:

Hab mir das Beispiel für den Test angesehen und habe den Eindruck, dass bei der oben geposteten Lösung Behauptung und Beweis irgendwie verdreht sind. Hier meine Lösung:

Induktionsanfang:

siehe obige Lösung

Induktionsannahme:

siehe obige Lösung

Induktionsbehauptung:

$\sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={(n+1) \over 6}\left({2(n+1)^{2}+6(n+1)+4}\right)$

$={{(n+1)(2n^{2}+4n+2+6n+6+4)} \over 6}$

$={{(n+1)(2n^{2}+10n+12)} \over 6}$

$={{2n^{3}+12n^{2}+22n+12} \over 6}$

$={{2n(n^{2}+6n+11)} \over 6}+2$

Induktionsbeweis:

${{(n)(2n^{2}+6n+4)} \over 6}+(n+1)(n+2)$

$={{2n^{3}+6n^{2}+4n} \over 6}+n^{2}+3n+2$

$={{2n^{3}+6n^{2}+4n+6n^{2}+18n+12} \over 6}$

$={{2n^{3}+12n^{2}+22n+12} \over 6}$

$={{2n(n^{2}+6n+11)} \over 6}+2$

q.e.d