Man beweise mittels vollständiger Induktion
, wobei ![{\displaystyle \left({n\geq 1}\right)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cf36ac13996039512d6f38270675cd95&mode=mathml)
(i) Induktionsanfang
![{\displaystyle n=1:n=1\to 2={1 \over 6}\left({2+6+4}\right)={{12} \over 6}=2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=08c34077d0d8b156fb1ce20699908579&mode=mathml)
(ii) Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
für ein beliebiges
Induktionsbehauptung:
![{\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={n \over 6}\left({2n^{2}+6n+4}\right)+(n+1)(n+2)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a122a506746fbf7f794ee57174ce7032&mode=mathml)
![{\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={{n\left({n+1}\right)\left({2n+4}\right)+\left({n+1}\right)\left({6n+12}\right)} \over 6}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=feba0d2e822456b51a8dececd69ef872&mode=mathml)
![{\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={{\left({n+1}\right)\left({2n^{2}+10n+12}\right)} \over 6}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=32c6885652850bd9c0abbb2ad9b06155&mode=mathml)
![{\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={{n+1} \over 6}\left({2\left({n+1}\right)^{2}+6\left({n+1}\right)+4}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ q.e.d.}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b4679de89c793e2de27725161c4a3e66&mode=mathml)
Lösung von Schnuffel:
Hab mir das Beispiel für den Test angesehen und habe den Eindruck, dass bei der oben geposteten Lösung Behauptung und Beweis irgendwie verdreht sind. Hier meine Lösung:
Induktionsanfang:
siehe obige Lösung
Induktionsannahme:
siehe obige Lösung
Induktionsbehauptung:
Induktionsbeweis:
q.e.d