TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 145
Zu den nachstehenden Abbildungen bzw. auf der Menge {0,1,...,9} bestimme man jeweils den zugehörigen Graphen und untersuche die angegebene Zuordnung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
(a) mod 10
(b) mod 10
Achtung: Dieses Beispiel war im WS07 noch Beispiel 117, ab WS08 ist es Beispiel 119.
Hilfreiches:[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": oder äquivalent:
Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:
Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion .
Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
() | ||
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 4 |
3 | 9 | 9 |
4 | 16 | 6 |
5 | 25 | 5 |
6 | 36 | 6 |
7 | 49 | 9 |
8 | 64 | 4 |
9 | 81 | 1 |
Man sieht, daß in der letzten Spalte Werte mehrfach vorkommen (d.h. ist nicht injektiv).
Man sieht auch, daß in der letzten Spalte manche Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} überhaupt nicht vorkommen (d.h. ist nicht surjektiv).
Und bijektiv... darüber brauchen wir schon garnicht diskutieren :).
() | ||
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
2 | 8 | 8 |
3 | 27 | 7 |
4 | 64 | 4 |
5 | 125 | 5 |
6 | 216 | 6 |
7 | 343 | 3 |
8 | 512 | 2 |
9 | 729 | 9 |
Man sieht, daß kein Wert in der letzten Spalte mehrfach vorkommt (d.h. ist injektiv).
Man sieht auch, daß in der letzten Spalte alle Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} vorkommen (d.h. ist surjektiv).
Injektiv + surjektiv: Daher ist auch bijektiv.
Graph[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
f(x)y ^ 9 | x x 8 | 7 | 6 | x x 5 | x 4 | x x 3 | 2 | 1 | x x ---------------------> x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
g(x)y ^ 9 | x 8 | x 7 | x 6 | x 5 | x 4 | x 3 | x 2 | x 1 | x ---------------------> x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
siehe auch: Beispiel 125