TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 134
Man zeige, daß die Funktion
bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.Anmerkung zur Angabe[edit]
Entweder das Beispiel ist eine Fangfrage, oder es ist in der Angabe ein Tippfehler, weil bijektiv kann die Funktion nur dann sein, wenn die Funktion so definiert wäre:
Wenn 6 nicht ausgenommen wäre, wäre f gar keine Funktion, weil eine Funktion für alle Werte aus dem Definitionsbereich einen Wert in Bildbereich zugeordnet haben muss.
Nachdem mit 6 der Nenner Null wird, ist die Funktion aber an der Stelle nicht definiert.
Daher ist der Lösungvorschlag auf
bezogen!Hilfreiches[edit]
"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet":
oder äquivalent:Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:
Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion .
Lösungsvorschlag[edit]
Injektivität[edit]
Dadurch ist f injektiv
Surjektivität[edit]
Dadurch ist die Funktion auch surjektiv, weil es zu jedem y ein x gibt, außer eben y = -10.
Bijektivität[edit]
Nachdem es sowohl surjektiv als auch injektiv ist, ist die Funktion auch bijektiv.
Umkehrfunktion[edit]
Um die Umkehrfunktion zu erhalten, muss man in der Formel, die man beim Beweis der Surjektivität gefunden hat, x und y vertauschen: