TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 134

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Man zeige, daß die Funktion bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.

Anmerkung zur Angabe[edit]

Entweder das Beispiel ist eine Fangfrage, oder es ist in der Angabe ein Tippfehler, weil bijektiv kann die Funktion nur dann sein, wenn die Funktion so definiert wäre:

Wenn 6 nicht ausgenommen wäre, wäre f gar keine Funktion, weil eine Funktion für alle Werte aus dem Definitionsbereich einen Wert in Bildbereich zugeordnet haben muss.

Nachdem mit 6 der Nenner Null wird, ist die Funktion aber an der Stelle nicht definiert.

Daher ist der Lösungvorschlag auf bezogen!

Hilfreiches[edit]

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": oder äquivalent:

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion .

Lösungsvorschlag[edit]

Injektivität[edit]




Dadurch ist f injektiv

Surjektivität[edit]



Dadurch ist die Funktion auch surjektiv, weil es zu jedem y ein x gibt, außer eben y = -10.

Bijektivität[edit]

Nachdem es sowohl surjektiv als auch injektiv ist, ist die Funktion auch bijektiv.

Umkehrfunktion[edit]

Um die Umkehrfunktion zu erhalten, muss man in der Formel, die man beim Beweis der Surjektivität gefunden hat, x und y vertauschen: