TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 134

Man zeige, daß die Funktion $f\colon \mathbb {R} \setminus \{7\}\to \mathbb {R} \setminus \{2\},y={\frac {10x+1}{6-x}}$ bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.

Anmerkung zur Angabe

Entweder das Beispiel ist eine Fangfrage, oder es ist in der Angabe ein Tippfehler, weil bijektiv kann die Funktion nur dann sein, wenn die Funktion so definiert wäre:

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{6\}\to \mathbb {R} \setminus \{-10\}$

Wenn 6 nicht ausgenommen wäre, wäre f gar keine Funktion, weil eine Funktion für alle Werte aus dem Definitionsbereich einen Wert in Bildbereich zugeordnet haben muss.

Nachdem mit 6 der Nenner Null wird, ist die Funktion aber an der Stelle nicht definiert.

Daher ist der Lösungvorschlag auf $f\colon \mathbb {R} \setminus \{6\}\to \mathbb {R} \setminus \{-10\}$ bezogen!

Hilfreiches

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Lösungsvorschlag

Injektivität

${\frac {10a+1}{6-a}}={\frac {10b+1}{6-b}}$
$(10a+1)\cdot (6-b)=(10b+1)\cdot (6-a)$
$60a-10ab+6-b=60b-10ab+6-a\Rightarrow a=b$

Dadurch ist f injektiv

Surjektivität

$\forall y\in \mathbb {R} \setminus \{-10\}\;\exists x\in \mathbb {R} \setminus \{6\}:f(x)=y$

${\begin{alignedat}{2}y&={\frac {10x+1}{6-x}}\\6y-xy&=10x+1\\10x+xy&=6y-1\\x&={\frac {6y-1}{10+y}}\\\Rightarrow y&\in \mathbb {R} \setminus \{-10\}\\\end{alignedat}}$

Dadurch ist die Funktion auch surjektiv, weil es zu jedem y ein x gibt, außer eben y = -10.

Bijektivität

Nachdem es sowohl surjektiv als auch injektiv ist, ist die Funktion auch bijektiv.

Umkehrfunktion

Um die Umkehrfunktion zu erhalten, muss man in der Formel, die man beim Beweis der Surjektivität gefunden hat, x und y vertauschen:

$f^{-1}(x)={\frac {6x-1}{10+x}}$