TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 134

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Man zeige, daß die Funktion f \colon \R \setminus \{7\} \to \R \setminus \{2\}, y = \frac{10x + 1}{6 - x} bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.

Anmerkung zur Angabe[edit]

Entweder das Beispiel ist eine Fangfrage, oder es ist in der Angabe ein Tippfehler, weil bijektiv kann die Funktion nur dann sein, wenn die Funktion so definiert wäre:

f \colon \R \setminus \{6\} \to \R \setminus \{-10\}

Wenn 6 nicht ausgenommen wäre, wäre f gar keine Funktion, weil eine Funktion für alle Werte aus dem Definitionsbereich einen Wert in Bildbereich zugeordnet haben muss.

Nachdem mit 6 der Nenner Null wird, ist die Funktion aber an der Stelle nicht definiert.

Daher ist der Lösungvorschlag auf f \colon \R \setminus \{6\} \to \R \setminus \{-10\} bezogen!

Hilfreiches[edit]

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2}) oder äquivalent: a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: \forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion  f^{-1}().

Lösungsvorschlag[edit]

Injektivität[edit]

\frac{10a + 1}{6 - a} = \frac{10b + 1}{6 - b}<br\> (10a + 1)\cdot(6 - b) = (10b + 1)\cdot(6 - a)<br\> 60a - 10ab + 6 - b = 60b - 10ab + 6 - a \Rightarrow a = b<br\>

Dadurch ist f injektiv

Surjektivität[edit]

\forall y \in \R \setminus \{-10\} \; \exist x \in \R \setminus \{6\}: f(x) = y



\begin{alignat}{2}

y &= \frac{10x + 1}{6 - x} \\
6y - xy &= 10x +1 \\
10x +xy &= 6y-1\\
x &= \frac{6y -1}{10 + y} \\
\Rightarrow y & \in \R \setminus \{-10\} \\
\end{alignat}
<br\>


Dadurch ist die Funktion auch surjektiv, weil es zu jedem y ein x gibt, außer eben y = -10.

Bijektivität[edit]

Nachdem es sowohl surjektiv als auch injektiv ist, ist die Funktion auch bijektiv.

Umkehrfunktion[edit]

Um die Umkehrfunktion zu erhalten, muss man in der Formel, die man beim Beweis der Surjektivität gefunden hat, x und y vertauschen:

f^{-1}(x) = \frac{6x -1}{10 + x}