TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 128

Für die linke Seite:

${\begin{pmatrix}{\frac {n+1}{k+1}}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}{\frac {(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}}\end{pmatrix}}$

hier können wir aus (n+1)! herausheben.

${\begin{pmatrix}{\frac {n!(n+1)}{k!(k+1)(n-k)!}}\end{pmatrix}}$

Für die rechte Seite

${\begin{pmatrix}{\frac {n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}}\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\end{pmatrix}}$

wie für die linke seite aus dem (k+1)! ein (k+1) herausheben. und für (n-(k+1))! kann man auch schreiben ${\begin{pmatrix}{\frac {(n-k)!}{(n-k)}}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}{\frac {n!}{\frac {(k)!(k+1)(n-k)!}{(n-k)}}}\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\end{pmatrix}}$

hierfür jetzt innenglied mal aussenglied den doppelbruch auflösen ( hier ist ja $n!={\frac {n!}{1}}$) dann haben wir:

${\begin{pmatrix}{\frac {n!(n-k)}{k!(k+1)(n-k)!}}\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\end{pmatrix}}$

Jetzt bringen wir das auf gleichen Nenner ( rechts wird um (k+1) erweitert):

${\begin{pmatrix}{\frac {n!(n-k)}{k!(k+1)(n-k)!}}\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}{\frac {n!(k+1)}{k!(n-k)!(k+1)}}\end{pmatrix}}$

Auf einen Bruchstrich schreiben:

${\begin{pmatrix}{\frac {n!(n-k)+n!(k+1)}{k!(k+1)(n-k)!}}\end{pmatrix}}$

Jetzt n! herausheben:

${\begin{pmatrix}{\frac {n!(n-k+k+1)}{k!(k+1)(n-k)!}}\end{pmatrix}}$

Und zusammenrechnen:

${\begin{pmatrix}{\frac {n!(n+1)}{k!(k+1)(n-k)!}}\end{pmatrix}}$

Damit ist die rechte und die linke Seite gleich. was zu beweisen war! QED!