TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 166

Wieviele natürliche Zahlen n mit $1\leq n\leq 1000$ gibt es, die durch 3, 5 oder 13 teilbar sind? Wie viele sind weder durch 3, noch durch 5 noch durch 13 teilbar?

Lösungsvorschlag von mnemetz

• Menge aller Zahlen, die durch 3 teilbar sind: $A_{3}$
• Menge aller Zahlen, die durch 5 teilbar sind: $A_{5}$
• Menge aller Zahlen, die durch 13 teilbar sind: $A_{13}$
• Menge aller Zahlen, die durch 3 und 5 teilbar sind: $A_{3}\cap A_{5}$
• Menge aller Zahlen, die durch 3 und 13 teilbar sind: $A_{3}\cap A_{13}$
• Menge aller Zahlen, die durch 5 und 13 teilbar sind: $A_{5}\cap A_{13}$
• Menge aller Zahlen, die durch 3 und 5 und 13 teilbar sind: $A_{3}\cap A_{5}\cap A_{13}$

Berechnung aller Zahlen zwischen $1\leq n\leq 1000$, die durch 3, 5 oder 13 teilbar sind:

$|A_{3}|+|A_{5}|+|A_{13}|-|A_{3}\cap A_{5}|-|A_{3}\cap A_{13}|-|A_{5}\cap A_{13}|+|A_{3}\cap A_{5}\cap A_{13}|=$

$={\frac {1000}{3}}+{\frac {1000}{5}}+{\frac {1000}{13}}-{\frac {1000}{3*5}}-{\frac {1000}{3*13}}-{\frac {1000}{5*13}}+{\frac {1000}{3*5*13}}=$

$=333+200+76-66-25-15+5=508$

Berechnung aller Zahlen zwischen $1\leq n\leq 1000$, die weder durch 3, 5 oder 13 teilbar sind:

$1000-508=492$