TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 191

Man bestimme die Adjazenzmatrix $A(G_{5})$ sowie (mit deren Hilfe) die Anzahl der gerichteten Kantenfolgen der Länge 3 von 4 nach 6!

Nützliches

Adjazenzmatrix
Wikipedia Erreichbarkeitsmatrix
Multiplizieren von Matrizen

Lösungsvorschlag von W wallner

Adjazenzmatrix des Graphen

$A_{G_{5}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&0&1\\0&1&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&1&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&0&1&0\\0&0&1&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$

Adjazenzmatrix multipliziert mit sich selbst:

$A_{G_{5}}^{2}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&1\\1&1&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&1&0&1\\0&0&1&0&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&1&0\\0&1&2&2&0&1&0&1\\1&1&0&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

Adjazenzmatrix hoch 3:

$A_{G_{5}}^{3}={\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0&0&2\\1&0&0&0&0&0&0&2\\1&1&1&0&1&0&0&1\\0&1&2&2&0&1&0&1\\1&1&3&2&1&2&0&2\\2&1&1&2&1&2&1&1\\1&0&0&0&0&1&0&1\\1&0&0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

Man sieht in der 4. Zeile, 6. Spalte, dass es genau einen Weg der Länge 3 vom Punkt 4 zum Punkt 6 gibt ( 4 -> 6 -> 5 -> 6 ).

Frage von CG: Sicher dass die Potenzmatrizen $A_{G_{5}}^{2}$ und $A_{G_{5}}^{3}$ so stimmen? Ich sitze schon seit einer Ewigkeit und suche nach moeglichen Fehlern in meiner Version aber ich komme einfach nicht auf das selbe Ergebnis. Danke

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Kann bestätigen das mit den Matrizen etwas nicht stimmen kann. Beim ersten hinschauen müsste bei $A_{G_{5}}^{2}$ für das Feld (1,1) der Matrize ja schon 2 rauskommen.

Lösungsvorschlag von der Lerngruppe vom 26.12.2005

(Dank an Sarah!)

$A(G_{5})={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&0&1\\0&1&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&1&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&0&1&0\\0&0&1&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$

Anzahl der gerichteten Kantenfolgen mit Länge 3 von 4 nach 6: 2

• $4\rightarrow 6\rightarrow 5\rightarrow 4$
• $4\rightarrow 3\rightarrow 6\rightarrow 4$

Anmerkung: Da es ein gerichteter Graph ist (man beachte die Pfeilrichtungen!), gibt es keine Verbindung von 4 nach 3!