TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 346

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

, d.h. die Potenzmenge der Menge A,

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gruppeneigenschaften
Gruppeneigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für ist (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion
  2. Assoziativgesetz: für alle .
  3. Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
  4. Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: für alle .
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
1
2
3
4
5

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basierend auf f.thread:37701

Abgeschlossenheit: Wenn gilt, dass , folgt daraus, dass auch . Abgeschlossenheit ist gegeben.

Assoziativität: Es muss gelten: für alle . Dies ist wahr.

Existenz eines neutralen Elements e: es muss gelten . (leere Menge). Dies ist wahr.

Existenz eines inversen Elements B' es muss gelten . Aber . Es existiert kein inverses Element B´.

Es liegt ein Monoid vor.