TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 348

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

$M={\mathfrak {P}}(A)$, d.h. die Potenzmenge der Menge A, $B\circ C=B\bigtriangleup C$ (die symmetrische Differenz)

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Definition der symmetrischen Differenz

$A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

C heißt symmetrische Differenz der Mengen A und B,

$C=A\triangle B$,

wenn C alle Elemente aus A enthält, die nicht zu B gehören und alle Elemente aus B, die nicht zu A gehören, d.h.:

$A\triangle B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)=(A\cup B)\backslash (A\cap B)$

VENN-Diagramm:

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: $G\times G=G$, für $a,b\in G\rightarrow a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion von $\circ :G\times G\rightarrow G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a'\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Lösungsvorschlag von mnemetz

Abgeschlossenheit

Wie schon aus den VENN-Diagrammen hervorgeht, ist eine Abgeschlossenheit gegeben.

Assoziativität

$(A\triangle B)\triangle C=A\triangle (B\triangle C)$

Es liegt die Assoziativität vor!

Man könnte dies mit der Elementtafel nachweisen (Auszug):

$A$	$B$	$C$	\	$A\triangle B$	$(A\triangle B)\triangle C$	\	$B\triangle C$	$A\triangle (B\triangle C)$
$\in$	$\in$	$\in$	\	$\notin$	$\in$	\	$\notin$	$\in$
$\in$	$\in$	$\notin$	\	$\notin$	$\notin$	\	$\in$	$\notin$

neutrales Element (Einheitselement)

Das neutrale Element existiert', es ist die leere Menge $\varnothing$, denn $A\bigtriangleup \varnothing =\varnothing \bigtriangleup A=A\qquad \forall A\in {\mathfrak {P}}(M)$.

Inverses Element

Auch das inverse Element existiert, und zwar A' = A: jedes Element ist zu sich selbst invers denn $A\bigtriangleup A'=A'\bigtriangleup A=\varnothing \qquad \forall A\in {\mathfrak {P}}(M)$

${\overline {A}}$ ist im folgenden das Komplement von A

$A\triangle A'=(A\cap {\overline {A}})\cup ({\overline {A}}\cap A)$

Beruhend auf dem Gesetzen von de Morgan und dem Distributivgesetz folgt dann: $A\cap {\overline {A}}={\overline {A}}\cap A=\emptyset$

Versuch einer Erklärung zu f.thread:37942 --Mnemetz 20:39, 12. Dez 2005 (CET)

Kommutativität

Auch eine Kommutativität liegt vor.

${\mathfrak {P}}(M):(A\bigtriangleup B)=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)=(A\cup B)\backslash (A\cap B)$ - die symmetrische Differenz ist daher kommutativ

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Webressourcen

• http://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre