TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 354

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

$M=\mathbb{Q},a\circ b=a\ast b+1$

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Hilfreiches

Gruppeneigenschaften

Gruppeneigenschaften

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: für $a,b\in G$ ist $a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion $\circ :G\times G\to G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement (bzw. Neutrales Element): Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a^{\prime }\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

Nr.	Gruppoid	Halbgruppe	Monoid	Gruppe	Abelsche Gruppe
1	✓	✓	✓	✓	✓
2		✓	✓	✓	✓
3			✓	✓	✓
4				✓	✓
5					✓

Lösungsvorschlag von mnemetz

Entnommen aus f.thread:37703 . Ist Falsch.

Abgeschlossenheit

Wenn $a,b\in \mathbb{Q}$, muss auch gelten: $a\circ b\in \mathbb{Q}$, daraus folgt $a\ast b+1\in \mathbb{Q}$. Ist erfüllt.

Zum Beweis der Abgeschlossenheit kann man wie folgt vorgehen: Da $a,b\in \mathbb{Q}$ kann man schreiben: $a=\frac{p}{q},b=\frac{r}{s}$

Jetzt einsetzen:

$a\ast b+1=\frac{p}{q}\ast \frac{r}{s}+1=\frac{p\ast r}{q\ast s}+1=\frac{p\ast r+q\ast s}{q\ast s}$

Und das ist wieder $\in \mathbb{Q}$

Abgeschlossenheit ist somit gegeben.

Assoziativität

Es muss gelten: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in M$.

• Linke Seite: $a\circ (b\ast c+1)=a\ast b\ast c+a+1$
• Rechte Seite: $(a\ast b+1)\circ c=a\ast b\ast c+c+1$

Wenn man die beiden Seiten gleichsetzt, erhält man: $a=c$

Widerspruch. Assoziativität ist nicht gegeben.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Gruppoid vor.