TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 353
Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.
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oder
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gruppeneigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen
Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.
Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:
- Abgeschlossenheit: für ist (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion
- Assoziativgesetz: für alle .
- Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
- Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
- Kommutativgesetz: für alle .
Nr. | Gruppoid | Halbgruppe | Monoid | Gruppe | Abelsche Gruppe |
---|---|---|---|---|---|
1 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
2 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
3 | ✓ | ✓ | ✓ | ||
4 | ✓ | ✓ | |||
5 | ✓ |
Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für alle Elemente a und b aus der gegebenen Menge M soll bei der vorgeschriebenen Operation gelten, dass das Ergebnis wieder ein Element der gegebenen Menge M ist.
Vorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Da die gegebene Menge M die Menge ohne 1 ist, müssen wir untersuchen, ob der Ausdruck überhaupt Eins ergeben kann. Prüfen wir also:
(und b = 0)
Analog mit b zu verfahren (b = 1, a = 0).
Schlussfolgerung: Das Ergebnis der Operation ist nur dann 1, wenn entweder a oder b 1 sind, aber das ist von vornherein ausgeschlossen. Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.
Vorschlag aus dem Informatikforum (editiert von mnemetz)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nach: https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?p=276443
Behauptung: Sei . Dann ist
Indirekter Beweis: Sei .
Aus erhalte ich .
Für folgt nun: (für ist, wegen , ein Widerspruch zur VS)
(weil ) => (Widerspruch)
Daher: Abgeschlossenheit gegeben
Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Damit Assoziativität gegeben ist, muss gelten: .
Prüfen wir nun:
- Linke Seite:
- Rechte Seite:
Beide Seiten sind gleich: daher ist die Assoziativität gegeben.
Einheitselement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für ein Einheitselement e aus M muss gelten:
Wir prüfen also:
Klar scheint nun, dass das Einheitselement e 0 sein muss. Daher existiert ein Einheitselement e.
Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Bei der Operation soll das Einheitselement e herauskommen. Prüfen wir also:
Vorschlag von mnemetz (offensichtlich falsch)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es existiert daher ein inverses Element a'.
Einwand von Daniela (dadar) und Christoph (ChristophM), dokumentiert von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dadar: Meiner Meinung nach (bin mir nicht so sicher) existiert kein inverses Element von a, weil wenn a zB 2 dann gilt 2-2-2*(1/2)=-1. Es funktioniert nur wenn man a=0 setzt???
Wenn jetzt sein soll, dann folgt daraus:
Das ist das inverse Element. Dabei darf a nicht 1 sein, sonst erfolgt die Division durch Null, jedoch ist 1 sowieso ausgeschlossen ().
Es existiert für jedes Element a aus M ein invereses Element a' .
(1 ist sowieso ausgenommen, das inverse Element von a=3 wäre , und es führt zu einem korrekten Ergebnis)
Dass wir zuerst eine Fehlannahme hatten ist darauf zurückzuführen, dass wir zuerst nur die notwendige Ausschließung von 1 betrachtet hatte, und nicht weiter. Danke, ChristophR in f.thread:37787 !
Kommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es muss gelten:
Somit ist die Kommutativität gegeben.
Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es liegt somit eine Abelsche Gruppe vor.