TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 353

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gruppeneigenschaften
Gruppeneigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für ist (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion
  2. Assoziativgesetz: für alle .
  3. Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
  4. Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: für alle .
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
1
2
3
4
5

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle Elemente a und b aus der gegebenen Menge M soll bei der vorgeschriebenen Operation gelten, dass das Ergebnis wieder ein Element der gegebenen Menge M ist.

Vorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die gegebene Menge M die Menge ohne 1 ist, müssen wir untersuchen, ob der Ausdruck überhaupt Eins ergeben kann. Prüfen wir also:

(und b = 0)

Analog mit b zu verfahren (b = 1, a = 0).

Schlussfolgerung: Das Ergebnis der Operation ist nur dann 1, wenn entweder a oder b 1 sind, aber das ist von vornherein ausgeschlossen. Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.

Vorschlag aus dem Informatikforum (editiert von mnemetz)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach: https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?p=276443

Behauptung: Sei . Dann ist

Indirekter Beweis: Sei .

Aus erhalte ich .

Für folgt nun: (für ist, wegen , ein Widerspruch zur VS)

(weil ) => (Widerspruch)

Daher: Abgeschlossenheit gegeben

Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Damit Assoziativität gegeben ist, muss gelten: .

Prüfen wir nun:

  • Linke Seite:
  • Rechte Seite:

Beide Seiten sind gleich: daher ist die Assoziativität gegeben.

Einheitselement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein Einheitselement e aus M muss gelten:

Wir prüfen also:

Klar scheint nun, dass das Einheitselement e 0 sein muss. Daher existiert ein Einheitselement e.

Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Operation soll das Einheitselement e herauskommen. Prüfen wir also:

Vorschlag von mnemetz (offensichtlich falsch)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es existiert daher ein inverses Element a'.

Einwand von Daniela (dadar) und Christoph (ChristophM), dokumentiert von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dadar: Meiner Meinung nach (bin mir nicht so sicher) existiert kein inverses Element von a, weil wenn a zB 2 dann gilt 2-2-2*(1/2)=-1. Es funktioniert nur wenn man a=0 setzt???

Wenn jetzt sein soll, dann folgt daraus:

Das ist das inverse Element. Dabei darf a nicht 1 sein, sonst erfolgt die Division durch Null, jedoch ist 1 sowieso ausgeschlossen ().

Es existiert für jedes Element a aus M ein invereses Element a' .

(1 ist sowieso ausgenommen, das inverse Element von a=3 wäre , und es führt zu einem korrekten Ergebnis)

Dass wir zuerst eine Fehlannahme hatten ist darauf zurückzuführen, dass wir zuerst nur die notwendige Ausschließung von 1 betrachtet hatte, und nicht weiter. Danke, ChristophR in f.thread:37787 !

Kommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es muss gelten:

Somit ist die Kommutativität gegeben.

Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es liegt somit eine Abelsche Gruppe vor.