TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS09/Beispiel 24

Man zeige für alle $n\in \mathbb{N}\mathrm{\setminus }\{0\}:\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=a_n\sum _{k=1}^n{b}_k-\sum _{k=1}^{n-1}[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]$

Lösungsvorschlag

Hier ein Lösungsvorschlag, nachdem dieses Beispiel bislang noch keine Lösung hat.

Induktionsanfang

n=1

$\sum _{k=1}^1{a}_k{b}_k=a_1\sum _{k=1}^1{b}_k-\sum _{k=1}^0[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]$

$a_1{b}_1=a_1{b}_1$

n=2

$\sum _{k=1}^2{a}_k{b}_k=a_2\sum _{k=1}^2{b}_k-\sum _{k=1}^1[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]$

$a_1{b}_1+a_2{b}_2=a_2(b_1+b_2)-[(a_2-a_1)b_1]$

$a_1{b}_1+a_2{b}_2=a_2{b}_1+a_2{b}_2-a_2{b}_1+a_1{b}_1$

$a_1{b}_1+a_2{b}_2=a_1{b}_1+a_2{b}_2$

Induktionsschritt

Die Beziehung $\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k{b}_k=a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-\sum _{k=1}^n[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]$ ist zu zeigen.

Aus der Induktionsvoraussetzung können wir weiters: $a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-\sum _{k=1}^n[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]=(a_{n+1}{b}_{n+1})+a_n\sum _{k=1}^n{b}_k-\sum _{k=1}^{n-1}[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]$ setzen.

Umformungen und Indexverschiebungen

1. Indexverschiebung (mit erstem Teil der Gleichung):

$a_n\sum _{k=1}^n{b}_k=a_n\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-a_n{b}_{n+1}$

2. Indexverschiebung (mit zweitem Teil der Gleichung):

$\sum _{k=1}^{n-1}[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]=\sum _{k=1}^n[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]-(a_{n+1}-a_n)\sum _{k=1}^n{b}_j$

3. Einsetzen in die Gesamtgleichung:

$(a_{n+1}{b}_{n+1})+a_n\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-a_n{b}_{n+1}-\sum _{k=1}^n[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]+(a_{n+1}-a_n)\sum _{k=1}^n{b}_k$

4. Ausmultiplizieren und umformen, um die Terme, die sich wegheben deutlich zu machen:

$a_n\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-a_n\sum _{k=1}^n{b}_k+(a_{n+1}{b}_{n+1})-a_n{b}_{n+1}+a_{n+1}\sum _{k=1}^n{b}_k-\sum _{k=1}^n[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]$

$a_n\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-a_n\sum _{k=1}^n{b}_k$ hebt sich bis auf den Term $a_n{b}_{n+1}$ weg. Somit vereinfacht sich der Term zu:

$a_n{b}_{n+1}-a_n{b}_{n+1}+a_{n+1}{b}_{n+1}+a_{n+1}\sum _{k=1}^n{b}_k-\sum _{k=1}^n[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]$

Und Schlussendlich: $a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-\sum _{k=1}^n[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]=a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-\sum _{k=1}^n[(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j]$. Q.E.D.

--W1n5t0n 13:44, 14. Jun. 2009 (CEST)