TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 379

Man zeige, daß die von $\bar{3}$ erzeugte Untergruppe $U$ von $⟨{\mathbb{Z}}_9,+⟩$ ein Normalteiler von $⟨{\mathbb{Z}}_9,+⟩$ ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe ${\mathbb{Z}}_9/U$.

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Hilfreiches

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\le G$ heißt Normalteiler, wenn stets die Äquivalenz zwischen der LNK (Linksnebenklasse, $a\circ N$) und der RNK (Rechtsnebenklasse, $N\circ a$) gilt, d.h.:

$\mathrm{\forall }a\in G:a\circ N=N\circ a$

Die Menge der Nebenklassen $\{a\circ N\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Lösungsvorschlag

Wir betrachten die kommutative Gruppe $⟨{\mathbb{Z}}_9,+⟩$ wobei ${\mathbb{Z}}_9=0,1,2,3,4,5,6,7,8$. Die von 3 erzeugte Untergruppe ist gegeben durch $U=⟨3⟩=0,3,6$ Zu beachten: 3+3+3 = 0

$U$ ist Normalteiler, da + kommutativ ist, und wir haben 3 Nebenklassen:

$0+U=U=3+U=6+U$

$1+U=1,4,7=4+U=7+U$

$2+U=2,5,8=5+U=8+U$

Somit ist ${\mathbb{Z}}_9/U=U,1+U,2+U$ mit der Operationstafel:

$\begin{array}{cccc}+& U& 1+U& 2+U\\ U& U& 1+U& 2+U\\ 1+U& 1+U& 2+U& U\\ 2+U& 2+U& U& 1+U\end{array}$

Die Verknüpfung der Nebenklassen erfolgt nach der Regel: (a+U) + (b+U) = (a+b)+U

Siehe auch:

Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 259
  Beispiel 260
  Beispiel 261

Wikipedia:

• Gruppentheorie
• Untergruppe
• Normalteiler
• Nebenklasse
• Faktorgruppe