TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 377

Man zeige, daß die von ${\overline {3}}$ erzeugte Untergruppe $U$ von $\langle \mathbb {Z} _{9},+\rangle$ ein Normalteiler von $\langle \mathbb {Z} _{9},+\rangle$ ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe $\mathbb {Z} _{9}/U$.

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Hilfreiches

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\leq G$ heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. $aN=Na,\forall a\in G$. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen $\{aN\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Lösungsvorschlag

Wir betrachten die kommutative Gruppe $\langle \mathbb {Z} _{9},+\rangle$ wobei $\mathbb {Z} _{9}={0,1,2,3,4,5,6,7,8}$. Die von 3 erzeugte Untergruppe ist gegeben durch ${U}=\langle {3}\rangle ={0,3,6}$ Zu beachten: 3+3+3 = 0

${U}$ ist Normalteiler, da + kommutativ ist, und wir haben 3 Nebenklassen:

$0+{U}={U}=3+{U}=6+{U}$

$1+{U}=1,4,7=4+{U}=7+{U}$

$2+{U}=2,5,8=5+{U}=8+{U}$

Somit ist $\mathbb {Z} _{9}/{U}={U},1+{U},2+{U}$ mit der Operationstafel:

${\begin{array}{c|ccc}+&U&1+U&2+U\\\hline U&U&1+U&2+U\\1+U&1+U&2+U&U\\2+U&2+U&U&1+U\end{array}}$

Die Verknüpfung der Nebenklassen erfolgt nach der Regel: (a+U) + (b+U) = (a+b)+U

Siehe auch:

Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 259
  Beispiel 260
  Beispiel 261

Wikipedia:

• Gruppentheorie
• Untergruppe
• Normalteiler
• Nebenklasse
• Faktorgruppe