TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 380

Man zeige, daß die von ${\overline {4}}$ erzeugte Untergruppe $U$ von $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$ ein Normalteiler von $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$ ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe $\mathbb {Z} _{12}/U$.

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Hilfreiches

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\leq G$ heißt Normalteiler, wenn stets LNK (Linksnebenklasse, $a\circ N$) = RNK (Rechtsnebenklasse, $N\circ a$) gilt, d.h. $\forall a\in G:a\circ N=N\circ a$. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen $\{a\circ N\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Lösungsvorschlag

Die von 4 erzeugte Untergruppe ist: $4+n*\mathbb {Z} =\{0,4,8\}$.

$\langle {\overline {4}}\rangle =\{n*{\overline {a}}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\{0,4,8\}$

Für das Überprüfen, ob es sich um einen Normalteiler handelt, muss man überprüfen ob die Linksnebenklasse = die Rechtsnebenklasse ist.

$4+n*\mathbb {Z} =n*\mathbb {Z} +4$

$U=\{0,4,8\}$

$1+U=\{1,5,9\}$

$2+U=\{2,6,10\}$

$3+U=\{3,7,11\}$

Gruppentafel der Faktorgruppe:

${\begin{array}{c|cccc}+&U&1+U&2+U&3+U\\\hline U&U&1+U&2+U&3+U\\1+U&1+U&2+U&3+U&U\\2+U&2+U&3+U&U&1+U\\3+U&3+U&U&1+U&2+U\end{array}}$

Siehe auch:

Ähnliche Beispiele:

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