TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 388

Seien $\phi :G\to H$ und $\psi :H\to K$ Gruppenhomomorphismen. Man zeige: $\psi \circ \phi :G\to K$ ist auch ein Gruppenhomomorphismus.

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Lösungsvorschlag

Die Verkettung von Funktionen ist wie folgt definiert: $(g\circ f)(x):=g\left(f\left(x\right)\right)$ (Quelle: Wikipedia)

Wir verwenden die Gruppen G, H und K mit den Operationen $\bullet$, $\star$ und $\ast$. Ausserdem soll gelten

$a,b\in G$
$c,d\in H$
$x,y\in K$

Da $\phi (G)$ und $\psi (H)$ Gruppenhomomorphismen sind, wissen wir, das die folgenden beiden Gleichungen gelten:

$\phi (a\bullet b)=\phi (a)\star \phi (b)$

$\psi (c\star d)=\psi (c)\ast \psi (d)$

Zu zeigen ist jetzt laut Angabe die folgende Behauptung:

$\psi \circ \phi (a\bullet b)=\psi \circ \phi (a)\ast \psi \circ \phi (b)$

Wenn wir jetzt die Definition der Verkettung einsetzen erhalten wir

$\psi (\phi (a\bullet b))=\psi (\phi (a))\ast \psi (\phi (b))$

Einsetzen der Gleichung für den ersten Gruppenhomomorphismus auf der linken Seite bringt uns auf

$\psi (\phi (a)\star \phi (b))=\psi (\phi (a))\ast \psi (\phi (b))$

Und das diese Gleichung gültig ist, sieht man, wenn man $\phi (a)=c$ und $\phi (b)=d$ einsetzt. Dadurch erhält man nämlich nichts anderes als die Gleichung des zweiten Gruppenhomomorphismus.

mfg, W wallner

Links

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  • Gruppentheorie
  • Homomorphismus
  • Verkettung von Funktionen