TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 27

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Zeigen Sie, dass irrational ist!

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}


Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beweis durch Widerspruch:

  • Annahme: ist eine rationale Zahl
  • Vorraussetzung: , wobei (Diese Eigenschaft wollen wir verletzen)

(6 dargestellt durch Primfaktorenzerlegung)

ist gerade ( ist per Definition gerade) ist gerade (nur eine gerade Zahl kann mit sich selbst multipliziert ein gerades Ergebnis haben)

/:2

ist gerade (wie bei ) ist gerade (der Multiplikator 3 ist ungerade, also muss selbst gerade sein damit die rechte Seite gerade ist)

Da und beide gerade sind () kann ihr größter gemeinsamer Teiler NICHT 1 sein Widerspruch zur Vorraussetzung

Bemerkung: selbe Vorgangsweise für restliche Beispiele --Pie3 17:14, 5. Mai 2011 (CEST)


Grundlagen: 2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005