TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 398

Von der Abbildung $f:({\mathbb{Z}}_3{)}^2\to ({\mathbb{Z}}_3{)}^4$ sei bekannt, daß $f$ ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass

$\begin{array}{c}f(0,1)=(0,1,1,2)\\ f(1,0)=(1,0,2,0)\end{array}$.

Man ermittle f $(w)$ für alle $w$ Element von $({\mathbb{Z}}_3{)}^2.$

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Lösungsvorschlag von Neverlasting

Wir haben einen Gruppenhomomorphismus $f$ zwischen den beiden Gruppen $(({\mathbb{Z}}_3{)}^2,+)$ und $(({\mathbb{Z}}_3{)}^4,+)$. Da $f$ ein Homomorphismus ist, gilt per Definition:

$f(a)+f(b)=f(a+b)$

Sei nun $a=(0,1)$ und $b=(1,0)$. Es gilt:

$\begin{array}{cc}f(a+b)& =f(a)+f(b)\\ f((0,1)+(1,0))& =f(0,1)+f(1,0)\\ f(1,1)& =f((0,1)+(1,0))=f(0,1)+f(1,0)\end{array}$

Wir erhalten also durch Addieren der bereits bekannten Funktionswerte, nämlich für $(0,1)$ und $(1,0)$, den Funktionswert, der durch das Urbild $(1,1)$ entsteht. Auf diese Weise lassen sich die Funktionswerte für alle möglichen Urbilder ermitteln. Man beachte, dass das Addieren stets komponentenweise erfolgt und modulo 3 gerechnet wird.

$\begin{array}{c}f(0,2)=f(0,1)+f(0,1)=(0,1,1,2)+(0,1,1,2)=(0,2,2,1)\\ f(1,1)=f(0,1)+f(1,0)=(0,1,1,2)+(1,0,2,0)=(1,1,0,2)\\ f(1,2)=f(1,1)+f(0,1)=(1,1,0,2)+(0,1,1,2)=(1,2,1,1)\\ f(2,0)=f(1,0)+f(1,0)=(1,0,2,0)+(1,0,2,0)=(2,0,1,0)\\ f(2,1)=f(1,1)+f(1,0)=(1,1,0,2)+(1,0,2,0)=(2,1,2,2)\\ f(2,2)=f(1,1)+f(1,1)=(1,1,0,2)+(1,1,0,2)=(2,2,0,1)\\ f(0,0)=f(2,2)+f(1,1)=(2,2,0,1)+(1,1,0,2)=(0,0,0,0)\end{array}$

Letzteres ist übrigens nicht sehr verwunderlich, da durch jeden Homomorphismus von G nach H das neutrale Element von G auf das neutrale Element von H abgebildet wird.