TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 285
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Sei G eine Gruppe, deren Ordnung |G| eine Primzahl ist. Man zeige, dass G nur die trivialen Untergruppen {e} und G hat.
Lösungsvorschlag von Neverlasting[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Laut dem Satz von Lagrange ist die Ordnung |U| einer Untergruppe von G stets Teiler der Gruppenordnung |G|. Ist nun |G| eine Primzahl, hat sie nur die Teiler 1 und |G|. Das heißt, es gibt eine Untergruppe mit einem Element und eine Untergruppe mit |G| Elementen. Logischerweise ist die erste {e}, da jede Gruppe ein neutrales Element haben muss, und die zweite G selbst.