TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 32

Man finde alle sechsten Wurzeln von z = −27 in $\mathbb {C}$ und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst die Zahl in Polarkoordinaten darstellen:

Das ist in dem Fall relativ einfach: Der Betrag ist 27 und der Winkel ist -180° bzw. $-\pi$

Anmerkung

Natürlich ist es genau so gut wenn man den Winkel mit +180° also $\pi$ annimmt. Weiß nicht mehr, warum ich damals ausgerechnet mit Minus gerechnet habe, aber es muss natürlich das Gleiche herauskommen

--MatheFreak 22:26, 30. Mär. 2011 (CEST)

$-27=\left[27,-\pi \right]$

genauer gesagt it es:

$-27=\left[27,-\pi +2\cdot n\cdot \pi \right]=\left[27,\pi \cdot (2\cdot n-1)\right]\qquad n\in \mathbb {N}$

weil sich der Winkel alle $2\cdot \pi$ wiederholt

Und lt. der Rechenregeln kann man nun die Wurzel ziehen, in dem man vom Betrag die Wurzel zieht und den Winkel durch die Wurzel dividiert:

$a={\sqrt[{6}]{-27}}=\left[{\sqrt[{6}]{27}},{\frac {\pi }{6}}\cdot (2\cdot n-1)\right]$

daraus ergeben sich nun die folgenden Lösungen:

$n=1:a_{1}=\left[{\sqrt[{6}]{27}},{\frac {\pi }{6}}\right]$
$n=2:a_{2}=\left[{\sqrt[{6}]{27}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
$n=3:a_{3}=\left[{\sqrt[{6}]{27}},{\frac {5\cdot \pi }{6}}\right]$
$n=4:a_{4}=\left[{\sqrt[{6}]{27}},{\frac {7\cdot \pi }{6}}\right]$
$n=5:a_{5}=\left[{\sqrt[{6}]{27}},{\frac {3\cdot \pi }{2}}\right]$
$n=6:a_{6}=\left[{\sqrt[{6}]{27}},{\frac {11\cdot \pi }{6}}\right]$
und ab hier wiederholt es sich:
$n=7:a_{7}=\left[{\sqrt[{6}]{27}},{\frac {13\cdot \pi }{6}}\right]=\left[{\sqrt[{6}]{27}},{\frac {\pi }{6}}\right]=a_{1}$