TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 413

Sei $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$

Untersuchen Sie, ob die Matrizen $I_2$, A und $A_2$ im Vektorraum der reellen 2x2-Matrizen linear unabhängig sind.

Lösungsvorschlag

Ersteinmal A² berechnen.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)=$ $\left(\begin{array}{cc}1+6& 2-2\\ 3-3& 6+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 7\end{array}\right)$

Schon sieht man, dass $A^2=7\ast I_2+0\ast A$ ist, sich also aus einer Linearkombination der anderen beiden Matrizen darstellen lässt, womit diese Matrizen linear abhängig sind.

Hierbei ist $I_2$ die 2x2-Einheitsmatrix und sieht folgendermaßen aus:

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$