TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 413

Sei $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}}$

Untersuchen Sie, ob die Matrizen $I_{2}$, A und $A_{2}$ im Vektorraum der reellen 2x2-Matrizen linear unabhängig sind.

Lösungsvorschlag

Ersteinmal A² berechnen.

$A^{2}={\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}}=$ ${\begin{pmatrix}1+6&2-2\\3-3&6+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&0\\0&7\end{pmatrix}}$

Schon sieht man, dass $A^{2}=7*I_{2}+0*A$ ist, sich also aus einer Linearkombination der anderen beiden Matrizen darstellen lässt, womit diese Matrizen linear abhängig sind.

Hierbei ist $I_{2}$ die 2x2-Einheitsmatrix und sieht folgendermaßen aus:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$