TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 520

Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung $A$ von $\mathbb {R} ^{3}$ in $\mathbb {R} ^{2}$ eine lineare Abbildung ist:

$A{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3x_{1}+5x_{2}\\x_{1}-3x_{3}\end{pmatrix}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung von D4ni31

Es muss die Homogenität und die Additivität gezeigt werden.
additiv: f(x+y)=f(x)+f(y)
homogen: f($\lambda$*x)=$\lambda$*f(x)

• Additivität:

${\begin{pmatrix}3(x_{1}+y_{1})+5(x_{2}+y_{2})\\(x_{1}+y_{1})-3(x_{3}+y_{3})\end{pmatrix}}$= ${\begin{pmatrix}3x_{1}+5x_{2}\\x_{1}-3x_{3}\end{pmatrix}}$+${\begin{pmatrix}3y_{1}+5y_{2}\\y_{1}-3y_{3}\end{pmatrix}}$

Rechte Seite umformen.

${\begin{pmatrix}3(x_{1}+y_{1})+5(x_{2}+y_{2})\\(x_{1}+y_{1})-3(x_{3}+y_{3})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3x_{1}+5x_{2}+3y_{1}+5y_{2}\\x_{1}-3x_{3}+y_{1}-3y_{3}\end{pmatrix}}$
Durch weiteres Vereinfachen auf der rechten Seite sieht man, dass sie der Linken gleicht

• Homogenität:

${\begin{pmatrix}\lambda 3x_{1}+\lambda 5x_{2}\\\lambda x_{1}-\lambda 3x_{3}\end{pmatrix}}$= ${\begin{pmatrix}\lambda (3x_{1}+5x_{2})\\\lambda (x_{1}-3x_{3})\end{pmatrix}}$= $\lambda {\begin{pmatrix}3x_{1}+5x_{2}\\x_{1}-3x_{3}\end{pmatrix}}$

Homogenität by P0rt0s

(Lösung, die mir meiner Meinung nach korrekter erscheint da oben fälschlich die Abbildung A benutzt wurde):

$\ A{\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\lambda x_{2}\\\lambda x_{3}\end{pmatrix}}$= ${\begin{pmatrix}\lambda 3x_{1}+\lambda 5x_{2}\\\lambda x_{1}-\lambda 3x_{3}\end{pmatrix}}$= ${\begin{pmatrix}\lambda (3x_{1}+5x_{2})\\\lambda (x_{1}-3x_{3})\end{pmatrix}}$= $\lambda A{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

Beide Bedingungen erfüllt =>Lineare Abbildung

comment by Elissa : both ways are literally the same!!

Links

• Datei:Mathe1-sol.pdf
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