TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 544

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K,
K=Q
2x₁ +x₂ + x₃ = 1
  x₁       + x₃ = 1
7x₁       + x₃ = 7

Lösungsvorschlag von Thora

(Ab) = $\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& |1\\ 1& 0& 1& |1\\ 7& 0& 1& |7\end{array}\right)$

1.Zeile mit 2. Zeile vertauschen $\Rightarrow$ (Ab) = $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& |1\\ 2& 1& 1& |1\\ 7& 0& 1& |7\end{array}\right)$

2. Zeile - 2*1.Zeile und 3. Zeile - 7*1. Zeile $\Rightarrow$ (Ab) = $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& |1\\ 0& 1& -1& |-1\\ 0& 0& -6& |0\end{array}\right)$

r = Berechnungsstufen
n = Anzahl Unbekannte
r = 3, n = 3 $\Rightarrow$ es existiert eine eindeutige Lösung

Unbekannte "von unten nach oben" berechnen:

-6x₃ = 0
x₃ = 0

x₂ - x₃ = -1
x₂ - 0 = -1
x₂ = -1

x₁ + x₃ = 1
x₁ + 0 = 1
x₁ = 1

x = $\left(\begin{array}{c}x1\\ x2\\ x3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$

Probe:

A * x = b

$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 7& 0& 1\end{array}\right)$ * $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\ast 1+1\ast (-1)+1\ast 0\\ 1\ast 1+0\ast (-1)+1\ast 0\\ 7\ast 1+0\ast (-1)+1\ast 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 7\end{array}\right)$