Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $ℤ_{3}$ ,
2x₁ +x₂ + x₃ = 1
x₁ + x₃ = 1
7x₁ + x₃ = 7

Lösungsvorschlag

(Ab) = $(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & | 1 \\ 1 & 0 & 1 & | 1 \\ 7 & 0 & 1 & | 7 \end{matrix})$ über dem Körper $ℤ$

in $ℤ_{3}$ sieht die Matrix dann etwas anders aus:

(Ab) = $(\begin{matrix} \overline{2} & \overline{1} & \overline{1} & | \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & | \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & | \overline{1} \end{matrix})$ über dem Körper $ℤ_{3}$

die 7 wird zu 1 weil $7 \equiv 1 mod 3$

1.Zeile mit 2. Zeile vertauschen $\Rightarrow$ (Ab) = $(\begin{matrix} \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & | \overline{1} \\ \overline{2} & \overline{1} & \overline{1} & | \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & | \overline{1} \end{matrix})$

2. Zeile - 2* 1.Zeile und 3.Zeile - 1.Zeile:

(Ab) = $(\begin{matrix} \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & | \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & | \overline{2} \\ \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & | \overline{0} \end{matrix})$

r = Berechnungsstufen
n = Anzahl Unbekannte
r = 2, n = 3 $\Rightarrow$ es existiert eine Lösung, allerdings nicht eindeutig

Unbekannte "von unten nach oben" berechnen:

$x_{2} + \overline{2} \cdot x_{3} = \overline{2}$
$x_{2} = \overline{2} - \overline{2} \cdot x_{3}$

$x_{1} + x_{3} = \overline{1}$
$x_{1} = \overline{1} - x_{3}$

x = $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} \overline{1} - x_{3} \\ \overline{2} - \overline{2} \cdot x_{3} \\ x_{3} \end{matrix})$

Probe:

A * x = b

$(\begin{matrix} \overline{2} & \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} \\ \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \overline{1} - x_{3} \\ \overline{2} - \overline{2} \cdot x_{3} \\ x_{3} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} \overline{2} \cdot (\overline{1} - x_{3}) + \overline{1} \cdot (\overline{2} - \overline{2} \cdot x_{3}) + \overline{1} \cdot x_{3} \\ \overline{1} \cdot (\overline{1} - x_{3}) + \overline{0} \cdot (\overline{2} - \overline{2} \cdot x_{3}) + \overline{1} \cdot x_{3} \\ \overline{1} \cdot (\overline{1} - x_{3}) + \overline{0} \cdot (\overline{2} - \overline{2} \cdot x_{3}) + \overline{1} \cdot x_{3} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} \overline{2} - \overline{2} \cdot x_{3} + \overline{2} - \overline{2} \cdot x_{3} + x_{3} \\ \overline{1} - x_{3} + x_{3} \\ \overline{1} - x_{3} + x_{3} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} \overline{1} \\ \overline{1} \\ \overline{1} \end{matrix})$

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 453

Lösungsvorschlag

Navigationsmenü

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 453

Lösungsvorschlag

Navigationsmenü

Suche