TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 453

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $\mathbb {Z} _{3}$,
2x₁ +x₂ + x₃ = 1
  x₁       + x₃ = 1
7x₁       + x₃ = 7

Lösungsvorschlag

(Ab) = ${\begin{pmatrix}2&1&1&|1\\1&0&1&|1\\7&0&1&|7\end{pmatrix}}$ über dem Körper $\mathbb {Z}$

in $\mathbb {Z} _{3}$ sieht die Matrix dann etwas anders aus:

(Ab) = ${\begin{pmatrix}{\overline {2}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&|{\overline {1}}\\{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&|{\overline {1}}\\{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&|{\overline {1}}\end{pmatrix}}$ über dem Körper $\mathbb {Z} _{3}$

die 7 wird zu 1 weil $7\equiv 1{\text{ mod }}3$

1.Zeile mit 2. Zeile vertauschen $\Rightarrow$ (Ab) = ${\begin{pmatrix}{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&|{\overline {1}}\\{\overline {2}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&|{\overline {1}}\\{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&|{\overline {1}}\end{pmatrix}}$

2. Zeile - 2* 1.Zeile und 3.Zeile - 1.Zeile:

(Ab) = ${\begin{pmatrix}{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&|{\overline {1}}\\{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}&|{\overline {2}}\\{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}&|{\overline {0}}\end{pmatrix}}$

r = Berechnungsstufen
n = Anzahl Unbekannte
r = 2, n = 3 $\Rightarrow$ es existiert eine Lösung, allerdings nicht eindeutig

Unbekannte "von unten nach oben" berechnen:

$x_{2}+{\overline {2}}\cdot x_{3}={\overline {2}}$
$x_{2}={\overline {2}}-{\overline {2}}\cdot x_{3}$

$x_{1}+x_{3}={\overline {1}}$
$x_{1}={\overline {1}}-x_{3}$

x = ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}{\overline {1}}-x_{3}\\{\overline {2}}-{\overline {2}}\cdot x_{3}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

Probe:

A * x = b

${\begin{pmatrix}{\overline {2}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\overline {1}}-x_{3}\\{\overline {2}}-{\overline {2}}\cdot x_{3}\\x_{3}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}{\overline {2}}\cdot ({\overline {1}}-x_{3})+{\overline {1}}\cdot ({\overline {2}}-{\overline {2}}\cdot x_{3})+{\overline {1}}\cdot x_{3}\\{\overline {1}}\cdot ({\overline {1}}-x_{3})+{\overline {0}}\cdot ({\overline {2}}-{\overline {2}}\cdot x_{3})+{\overline {1}}\cdot x_{3}\\{\overline {1}}\cdot ({\overline {1}}-x_{3})+{\overline {0}}\cdot ({\overline {2}}-{\overline {2}}\cdot x_{3})+{\overline {1}}\cdot x_{3}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}{\overline {2}}-{\overline {2}}\cdot x_{3}+{\overline {2}}-{\overline {2}}\cdot x_{3}+x_{3}\\{\overline {1}}-x_{3}+x_{3}\\{\overline {1}}-x_{3}+x_{3}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}{\overline {1}}\\{\overline {1}}\\{\overline {1}}\end{pmatrix}}$