TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS09/Beispiel 407

Lösung von Thomas (aka anwesender)

wem das PDF-Format lieber ist: Bsp 407 als PDF-Download

Zuerst mal die Angabe: Rang über $\mathbb {R}$ bestimmen ($n\geq 1$)

$\left({\begin{array}{ccccc}2&6&10&\cdots &4n-2\\6&10&14&&4n+2\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\4n-2&4n+2&\cdots &&8n-6\end{array}}\right)$

So, nun zur 1. Umformung: $\left({\begin{array}{ccccc}2&6&10&\cdots &4n-2\\6&10&14&&4n+2\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\4n-2&4n+2&\cdots &&8n-6\end{array}}\right):z_{n\geq 2}\rightarrow z_{n}-z_{1}(2n-1)$

bei der folgendes herauskommt: $\left({\begin{array}{ccccc}2&6&10&\cdots &4n-2\\0&-8&-16&&-8(n-1)\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\0&-8(n-1)&\cdots &&-8(n-1)^{2}\end{array}}\right):z_{n\geq 2}\rightarrow z_{n}-z_{2}(n-1)$

und daraus resultiert: $\left({\begin{array}{ccccc}2&6&10&\cdots &4n-2\\0&-8&-16&&-8(n-1)\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &&0\end{array}}\right)$

um es ein bisschen zu erkennen, vergrößere ich die Matrix noch um eine Zeile: $\left({\begin{array}{cccccc}2&6&10&14&\cdots &4n-2\\0&-8&-16&-24&&-8(n-1)\\0&0&0&0&&0\\\vdots &&&&\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0\end{array}}\right)$

und bei der sollte man dann zur Erleuchtung kommen, der Rang besteht aus allen Zeilen, bei denen die Zeilen $\neq 0$ sind. d.h. $rg\left({\begin{array}{ccccc}2&6&10&\cdots &4n-2\\6&10&14&&4n+2\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\4n-2&4n+2&\cdots &&8n-6\end{array}}\right)=rg\left({\begin{array}{cccccc}2&6&10&14&\cdots &4n-2\\0&-8&-16&-24&&-8(n-1)\\0&0&0&0&&0\\\vdots &&&&\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0\end{array}}\right)=2$

Thomas --Anwesender 14:17, 16. Jun. 2009 (CEST)