TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 481

Man berechne

${\begin{vmatrix}2&4&-1&3\\1&2&0&-1\\1&2&7&4\\4&9&6&6\end{vmatrix}}$

Lösungsvorschlag

Zuerst durch Spalten/ Zeilenumformungen versuchen eine obere Dreiecksform zu bekommen.<br\> Durch addieren/ subtrahieren von Zeilen/ Spalten verändert sich die Determinante der Matrix nicht.<br\> Wenn man eine Zeile oder Spalte vertauscht gilt, dass die neue Determintante A' = (-1)*A. (Man muss sich also merken wie oft man Zeilen/ Spalten vertauscht hat!)

n= 0.... Zähler der Zeilen/Spaltenvertauschungen

$det(A)={\begin{vmatrix}2&4&-1&3\\1&2&0&-1\\1&2&7&4\\4&9&6&6\end{vmatrix}}$

von der 1.Zeile 2* die 3. subtrahieren <br\> von der 2.Zeile 1* die 3. subtrahieren<br\> von der 4.Zeile 4* die 3. subtrahieren<br\> $\Rightarrow {\begin{vmatrix}0&0&-15&-5\\0&0&-7&-5\\1&2&7&4\\0&1&-22&-10\end{vmatrix}}$

vertauschen von 1. mit 3. Zeile <br\> vertauschen von 2. mit 4. Zeile $\Rightarrow n=2$ <br\> $\Rightarrow {\begin{vmatrix}1&2&7&4\\0&1&-22&-10\\0&0&-15&-5\\0&0&-7&-5\end{vmatrix}}$

von der 4. Zeile die 3. subtrahieren<br\> $\Rightarrow {\begin{vmatrix}1&2&7&4\\0&1&-22&-10\\0&0&-15&-5\\0&0&8&0\end{vmatrix}}$

3. und 4. Spalte vertauschen $\Rightarrow n=3$ <br\> $\Rightarrow {\begin{vmatrix}1&2&4&7\\0&1&-10&-22\\0&0&-5&-15\\0&0&0&8\end{vmatrix}}$

so lässt sich die Determinate sehr einfach berechnen. Es ist nämlich nur das Produkt der Elemente in der Hauptdiagonale (alle anderen Produkte fallen weg, weil überall eine Null vorhanden ist). Man muss nun nur noch auf das Vorzeichen aufpassen, dass sich durch die Vertauschungen geändert hat

$\Rightarrow det(A)=(-1)^{3}\cdot 1\cdot 1\cdot (-5)\cdot 8=(-1)\cdot (-40)=40$

Links

Tool zur Berechnung von Determinanten