TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 485

Man berechne

$\left|\begin{array}{cccc}2& 4& -1& 3\\ 1& 2& 0& -1\\ 1& 2& 7& 4\\ 4& 9& 6& 6\end{array}\right|$

Lösungsvorschlag

Zuerst durch Spalten/ Zeilenumformungen versuchen ein paar Nuller in eine Zeile/ Spalte zu bekommen.<br\> Durch addieren/ subtrahieren von Zeilen/ Spalten verändert sich die Determinante der Matrix nicht.<br\> Wenn man eine Zeile oder Spalte vertauscht gilt, dass die neue Determintante A' = (-1)*A. (Man muss sich also merken wie oft man Zeilen/ Spalten vertauscht hat!)

$det(A)=\left|\begin{array}{cccc}2& 4& -1& 3\\ 1& 2& 0& -1\\ 1& 2& 7& 4\\ 4& 9& 6& 6\end{array}\right|$

von der 1.Zeile 2* die 3. subtrahieren <br\> von der 2.Zeile 1* die 3. subtrahieren<br\> von der 4.Zeile 4* die 3. subtrahieren<br\> $\Rightarrow \left|\begin{array}{cccc}0& 0& -15& -5\\ 0& 0& -7& -5\\ 1& 2& 7& 4\\ 0& 1& -22& -10\end{array}\right|$

das sieht so schon ganz gut aus. Nun entwickeln wir mit Laplace nach der 1. Spalte:

$det(A)=0\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& -7& -5\\ 2& 7& 4\\ 1& -22& -10\end{array}\right|+$ $0\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& -15& -5\\ 2& 7& 4\\ 1& -22& -10\end{array}\right|+$ $1\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& -15& -5\\ 0& -7& -5\\ 1& -22& -10\end{array}\right|+$ $0\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& -15& -5\\ 0& -7& -5\\ 2& 7& 4\end{array}\right|$<br\> $det(A)=\left|\begin{array}{ccc}0& -15& -5\\ 0& -7& -5\\ 1& -22& -10\end{array}\right|$<br\>

Nach der Regel von Sarrus (nur für 3x3- Matrizen):<br\> Produkt der Hauptdiagonalen - Produkte der Nebendiagonalen $det(A)=0\cdot (-7)\cdot (-10)+(-15)\cdot (-5)\cdot 1+(-5)\cdot 0\cdot (-22)-(-5)\cdot (-7)\cdot 1-(-15)\cdot 0\cdot (-10)-0\cdot (-5)\cdot (-22)$<br\> $det(A)=0+75+0-35-0-0=40$

Links

Regel von Sarrus