TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 485

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Man berechne

\begin{vmatrix}2 & 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 7 & 4 \\ 4 & 9 & 6 & 6\end{vmatrix}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Zuerst durch Spalten/ Zeilenumformungen versuchen ein paar Nuller in eine Zeile/ Spalte zu bekommen.<br\> Durch addieren/ subtrahieren von Zeilen/ Spalten verändert sich die Determinante der Matrix nicht.<br\> Wenn man eine Zeile oder Spalte vertauscht gilt, dass die neue Determintante A' = (-1)*A. (Man muss sich also merken wie oft man Zeilen/ Spalten vertauscht hat!)


det(A) = \begin{vmatrix}2 & 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 7 & 4 \\ 4 & 9 & 6 & 6\end{vmatrix}

von der 1.Zeile 2* die 3. subtrahieren <br\> von der 2.Zeile 1* die 3. subtrahieren<br\> von der 4.Zeile 4* die 3. subtrahieren<br\> \Rightarrow \begin{vmatrix}0 & 0 & -15 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -5 \\ 1 & 2 & 7 & 4 \\ 0 & 1 & -22 & -10\end{vmatrix}

das sieht so schon ganz gut aus. Nun entwickeln wir mit Laplace nach der 1. Spalte:

det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -7 & -5 \\  2 & 7 & 4 \\  1 & -22 & -10\end{vmatrix}+ 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -15 & -5  \\  2 & 7 & 4 \\ 1 & -22 & -10\end{vmatrix}+ 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -15 & -5  \\ 0 & -7 & -5 \\  1 & -22 & -10\end{vmatrix}+ 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -15 & -5  \\0 & -7 & -5 \\   2 & 7 & 4 \end{vmatrix}  <br\> det(A) = \begin{vmatrix} 0 & -15 & -5  \\ 0 & -7 & -5 \\  1 & -22 & -10\end{vmatrix}<br\>

Nach der Regel von Sarrus (nur für 3x3- Matrizen):<br\> Produkt der Hauptdiagonalen - Produkte der Nebendiagonalen det(A)= 0 \cdot (-7) \cdot (-10) + (-15) \cdot (-5) \cdot 1 + (-5) \cdot 0 \cdot (-22) - (-5) \cdot (-7) \cdot 1 - (-15) \cdot 0 \cdot (-10) - 0 \cdot (-5) \cdot (-22)<br\> det(A) = 0 + 75 + 0- 35 - 0 - 0 = 40 \qquad

Links[Bearbeiten]

Regel von Sarrus