TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 485

Man berechne

${\begin{vmatrix}2&4&-1&3\\1&2&0&-1\\1&2&7&4\\4&9&6&6\end{vmatrix}}$

Lösungsvorschlag

Zuerst durch Spalten/ Zeilenumformungen versuchen ein paar Nuller in eine Zeile/ Spalte zu bekommen.<br\> Durch addieren/ subtrahieren von Zeilen/ Spalten verändert sich die Determinante der Matrix nicht.<br\> Wenn man eine Zeile oder Spalte vertauscht gilt, dass die neue Determintante A' = (-1)*A. (Man muss sich also merken wie oft man Zeilen/ Spalten vertauscht hat!)

$det(A)={\begin{vmatrix}2&4&-1&3\\1&2&0&-1\\1&2&7&4\\4&9&6&6\end{vmatrix}}$

von der 1.Zeile 2* die 3. subtrahieren <br\> von der 2.Zeile 1* die 3. subtrahieren<br\> von der 4.Zeile 4* die 3. subtrahieren<br\> $\Rightarrow {\begin{vmatrix}0&0&-15&-5\\0&0&-7&-5\\1&2&7&4\\0&1&-22&-10\end{vmatrix}}$

das sieht so schon ganz gut aus. Nun entwickeln wir mit Laplace nach der 1. Spalte:

$det(A)=0\cdot {\begin{vmatrix}0&-7&-5\\2&7&4\\1&-22&-10\end{vmatrix}}+$ $0\cdot {\begin{vmatrix}0&-15&-5\\2&7&4\\1&-22&-10\end{vmatrix}}+$ $1\cdot {\begin{vmatrix}0&-15&-5\\0&-7&-5\\1&-22&-10\end{vmatrix}}+$ $0\cdot {\begin{vmatrix}0&-15&-5\\0&-7&-5\\2&7&4\end{vmatrix}}$<br\> $det(A)={\begin{vmatrix}0&-15&-5\\0&-7&-5\\1&-22&-10\end{vmatrix}}$<br\>

Nach der Regel von Sarrus (nur für 3x3- Matrizen):<br\> Produkt der Hauptdiagonalen - Produkte der Nebendiagonalen $det(A)=0\cdot (-7)\cdot (-10)+(-15)\cdot (-5)\cdot 1+(-5)\cdot 0\cdot (-22)-(-5)\cdot (-7)\cdot 1-(-15)\cdot 0\cdot (-10)-0\cdot (-5)\cdot (-22)$<br\> $det(A)=0+75+0-35-0-0=40\qquad$

Links

Regel von Sarrus