TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 415

Angabe

Über welchem Körper ${\mathbb{Z}}_p$ (p Primzahl) ist die Matrix A singulär?

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 4& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Anmerkung: Eine Primzahl (n) ist eine Zahl grösser oder gleich 2, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Zuerst müssen wir die Determinante berechnen:

$det(A)=2\ast 1\ast 2+2\ast 1\ast 0+0\ast 4\ast 1-0\ast 1\ast 0-2\ast 4\ast 2-2\ast 1\ast 1=4+0+0-16-2=-14$

(Determinante nach der Formel $det(A)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right)=a_{1,1}\ast a_{2,2}\ast a_{3,3}+a_{1,2}\ast a_{2,3}\ast a_{3,1}+a_{1,3}\ast a_{2,1}\ast a_{3,2}-a_{1,3}\ast a_{2,2}\ast a_{3,1}-a_{1,2}\ast a_{2,1}\ast a_{3,3}-a_{1,1}\ast a_{2,3}\ast a_{3,3}$ berechnet)

Wir wissen, dass die Determinante der Matrix A gleich −14 ist. 14 besteht aus zwei Primfaktoren nämlich 2 und 7 (das Minus braucht nicht berücksichtigt werden). Somit ist die Matrix über den Körpern ${\mathbb{Z}}_2$ und ${\mathbb{Z}}_7$ singulär.