TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 519

Sei $a_{n}=sin{\frac {n\pi }{2}}+(-1)^{\frac {n(n+1)}{2}}$ mit $n\geq 0$. Man bestimme die Häufungspunkte der Folge $a_{n}$.

Nützliches

Ich kann ja eine Folge $a_{n}$ in zwei Folgen zerlegen.

$a_{n}=b_{n}+c_{n}$.

Das kann ich hier verwenden, um die einzelnen Folgenteile zu untersuchen.

Lösung

Zuerst untersuchen wir $b_{n}=sin{\frac {n\pi }{2}}$:

$b_{0}=sin{\frac {0\pi }{2}}=0$

$b_{1}=sin{\frac {1\pi }{2}}=1$

$b_{2}=sin{\frac {2\pi }{2}}=0$

$b_{3}=sin{\frac {3\pi }{2}}=-1$

$b_{4}=sin{\frac {4\pi }{2}}=0$

Wir sehen, $b_{n}$ wiederholt sich, und wird abwechselnd ${0,1,0,-1}$.

Jetzt betrachten wird $c_{n}=(-1)^{\frac {n(n+1)}{2}}$:

$c_{0}=(-1)^{\frac {0(0+1)}{2}}=1$

$c_{1}=(-1)^{\frac {1(1+1)}{2}}=-1$

$c_{2}=(-1)^{\frac {2(2+1)}{2}}=-1$

$c_{3}=(-1)^{\frac {3(3+1)}{2}}=1$

$c_{4}=(-1)^{\frac {4(4+1)}{2}}=1$

$c_{5}=(-1)^{\frac {4(4+1)}{2}}=-1$

Man sieht, dass sich die Folge ${1,-1,-1,1}$ ad infinitum wiederholt. Jetzt setzen wir die Folge wieder zusammen, und betrachten die ersten Folgenglieder, um recht schnell festzustellen, dass die Häufungspunkte bei ${-1,0,1}$ liegen.

$a_{0}=sin{\frac {0\pi }{2}}+(-1)^{\frac {0(0+1)}{2}}=0+1=1$

$a_{1}=sin{\frac {1\pi }{2}}+(-1)^{\frac {1(1+1)}{2}}=1-1=0$

$a_{2}=sin{\frac {2\pi }{2}}+(-1)^{\frac {2(2+1)}{2}}=0-1=-1$

$a_{3}=sin{\frac {3\pi }{2}}+(-1)^{\frac {3(3+1)}{2}}=-1+1=0$

$a_{4}=sin{\frac {4\pi }{2}}+(-1)^{\frac {4(4+1)}{2}}=0+1=1$