TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 519

Sei $a_n=sin\frac{n\pi }{2}+(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}$ mit $n\ge 0$. Man bestimme die Häufungspunkte der Folge $a_n$.

Nützliches

Ich kann ja eine Folge $a_n$ in zwei Folgen zerlegen.

$a_n=b_n+c_n$.

Das kann ich hier verwenden, um die einzelnen Folgenteile zu untersuchen.

Lösung

Zuerst untersuchen wir $b_n=sin\frac{n\pi }{2}$:

$b_0=sin\frac{0\pi }{2}=0$

$b_1=sin\frac{1\pi }{2}=1$

$b_2=sin\frac{2\pi }{2}=0$

$b_3=sin\frac{3\pi }{2}=-1$

$b_4=sin\frac{4\pi }{2}=0$

Wir sehen, $b_n$ wiederholt sich, und wird abwechselnd $0,1,0,-1$.

Jetzt betrachten wird $c_n=(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}$:

$c_0=(-1{)}^{\frac{0(0+1)}{2}}=1$

$c_1=(-1{)}^{\frac{1(1+1)}{2}}=-1$

$c_2=(-1{)}^{\frac{2(2+1)}{2}}=-1$

$c_3=(-1{)}^{\frac{3(3+1)}{2}}=1$

$c_4=(-1{)}^{\frac{4(4+1)}{2}}=1$

$c_5=(-1{)}^{\frac{4(4+1)}{2}}=-1$

Man sieht, dass sich die Folge $1,-1,-1,1$ ad infinitum wiederholt. Jetzt setzen wir die Folge wieder zusammen, und betrachten die ersten Folgenglieder, um recht schnell festzustellen, dass die Häufungspunkte bei $-1,0,1$ liegen.

$a_0=sin\frac{0\pi }{2}+(-1{)}^{\frac{0(0+1)}{2}}=0+1=1$

$a_1=sin\frac{1\pi }{2}+(-1{)}^{\frac{1(1+1)}{2}}=1-1=0$

$a_2=sin\frac{2\pi }{2}+(-1{)}^{\frac{2(2+1)}{2}}=0-1=-1$

$a_3=sin\frac{3\pi }{2}+(-1{)}^{\frac{3(3+1)}{2}}=-1+1=0$

$a_4=sin\frac{4\pi }{2}+(-1{)}^{\frac{4(4+1)}{2}}=0+1=1$