TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 519

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Sei a_n = sin \frac{n\pi}{2} + (-1)^\frac{n(n+1)}{2} mit n \ge 0. Man bestimme die Häufungspunkte der Folge a_n.

Nützliches[Bearbeiten]

Ich kann ja eine Folge a_n in zwei Folgen zerlegen.

a_n = b_n + c_n.

Das kann ich hier verwenden, um die einzelnen Folgenteile zu untersuchen.

Lösung[Bearbeiten]

Zuerst untersuchen wir b_n = sin \frac{n\pi}{2}:

b_0 = sin \frac{0\pi}{2} = 0

b_1 = sin \frac{1\pi}{2} = 1

b_2 = sin \frac{2\pi}{2} = 0

b_3 = sin \frac{3\pi}{2} = -1

b_4 = sin \frac{4\pi}{2} = 0

Wir sehen, b_n wiederholt sich, und wird abwechselnd {0,1,0,-1}.

Jetzt betrachten wird c_n = (-1)^\frac{n(n+1)}{2}:

c_0 = (-1)^\frac{0(0+1)}{2} = 1

c_1 = (-1)^\frac{1(1+1)}{2} = -1

c_2 = (-1)^\frac{2(2+1)}{2} = -1

c_3 = (-1)^\frac{3(3+1)}{2} = 1

c_4 = (-1)^\frac{4(4+1)}{2} = 1

c_5 = (-1)^\frac{4(4+1)}{2} = -1

Man sieht, dass sich die Folge {1,-1,-1,1} ad infinitum wiederholt. Jetzt setzen wir die Folge wieder zusammen, und betrachten die ersten Folgenglieder, um recht schnell festzustellen, dass die Häufungspunkte bei {-1,0,1} liegen.

a_0 = sin \frac{0\pi}{2} + (-1)^\frac{0(0+1)}{2} = 0 + 1 = 1

a_1 = sin \frac{1\pi}{2} + (-1)^\frac{1(1+1)}{2} = 1 - 1 = 0

a_2 = sin \frac{2\pi}{2} + (-1)^\frac{2(2+1)}{2} = 0 - 1 = -1

a_3 = sin \frac{3\pi}{2} + (-1)^\frac{3(3+1)}{2} = -1 + 1 = 0

a_4 = sin \frac{4\pi}{2} + (-1)^\frac{4(4+1)}{2} = 0 + 1 = 1