TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 72

Man untersuche folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\geq 0}{\frac {3\cdot n^{2}+1}{5\cdot n^{3}-2}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Minorantenkriterium

Wenn $\sum a_{n}$ und $\sum b_{n}$ zwei Reihen sind, $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ für fast alle $n$ gilt und $\sum a_{n}$ divergent, dann ist auch $\sum b_{n}$ divergent.   (Satz 4.48)

Lösungsvorschlag

$a_{n}={\frac {3\cdot n^{2}+1}{5\cdot n^{3}-2}}$

Zuerst versucht man das Abzuschätzen, d.h. in dem Fall lässt man die Konstanten weg wodurch sich folgendes ergibt:

${\frac {3\cdot n^{2}+1}{5\cdot n^{3}-2}}\approx {\frac {3\cdot n^{2}}{5\cdot n^{3}}}={\frac {3}{5n}}$

Das sieht nach der harmonische Reihe $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}$aus. Diese ist wie bekannt divergent.

Also versuchen wir mit Hilfe des Minorantenkriteriums zu beweisen, dass unsere Reihe ebenfalls divergent ist.

Dazu benötigen wir nur noch eine passende divergente Folge $b_{n}$für die gilt $0\leq b_{n}\leq a_{n}$.

Dazu versuchen wir es mit dem Approximationsergebnis von oben, also $b_{n}={\frac {3}{5n}}$. Dass diese Reihe selbst divergent ist, ist leicht zu sehen, weil man die ${\frac {3}{5}}$auch vor die Summe ziehen kann.

$\sum _{n\geq 1}{\frac {3}{5n}}={\frac {3}{5}}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}={\frac {3}{5}}\cdot \infty =\infty \Rightarrow divergent$

$0\leq {\frac {3}{5n}}$ gilt offensichtlich auch

${\frac {3}{5n}}\leq {\frac {3\cdot n^{2}+1}{5\cdot n^{3}-2}}$

$15\cdot n^{3}-6\leq {15\cdot n^{3}+5n}$

$0\leq 5n+6$

$\Rightarrow b_{n}\leq a_{n}$

$\Rightarrow a_{n}$ ist divergent