TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 9

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Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge und für allgemein gilt:
, für alle


Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Induktionsvorraussetzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


ausquadriert damit wir uns später beim vergleichen einfacher tun:


Überprüfung Induktionsanfang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

n = 0:[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


n = 1 (k = 0):[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


n = 2 (k = 1):[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Der Anfang ist also richtig!

Induktionsschritt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

daraus folgt die Induktionsbehauptung, indem man für jedes n in der Induktionsvorraussetzung n+1 einsetzt

Induktionsbehauptung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jetzt muss man zeigen, dass sich das wieder auf die Vorraussetzung zurückführen lässt. Dazu vereinfachen wir erst mal die Behauptung

Als nächstes benutzen wir die rekursive Darstellung der Folge (das im Index ein k steht, stört nicht weiter; Variabelnamen sind geduldig)

in beiden Fällen haben wir ein , wodurch wir die beiden Formeln gleichsetzen kann



Wie man sieht entspricht das der Induktionsvorraussetzung, wodurch die Behauptung bewiesen ist.