TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Theorie WS05/13.12.2005 Algebraische Strukturen: Zweistellige Operationen,Halbgruppen und Gruppen

Operation

Zum Beispiel bilden im Zahlensystem $\mathbb {N}$ die Zahlen 2 und 5 durch Verknüpfung mit Operatoren neue Zahlen.

• 2 + 5 = 7
• 2 * 5 = 10

Definition: Unter einer zweistelligen Operation in einer beliebingen Menge versteht man eine Vorschrift, die jedem Paar $(a,b)\in M\times M$ genau ein Element $a\circ b\in M$ zuordnet, also eine Abbildung $\circ :M\times M\rightarrow M$.

Beispiele:

• a + b, a - b, a * b in $\mathbb {Q}$
• $a^{b}{\text{ in }}\mathbb {R} ^{+}$
• f,g: $D:\rightarrow \mathbb {R}$, wobei (f+g)(x) = f(x) + g(x) ("punktweise erklärte Addition")
• ${\mathfrak {P}}(M)$ Potenzmenge: $A\cap B,A\cup B,A\bigtriangleup B,A\backslash B$
• $M=\mathbb {Z} _{4}={0,1,2,3},a\circ b=ab{\text{ mod }}4$ - durch Operationstafel darstellbar:

          a
    o  0  1  2  3
    0  0  0  0  0
  b 1  0  1  2  3
    2  0  2  0  2
    3  0  3  2  1

Eigenschaften zweistelliger Operationen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: $G\times G=G$, für $a,b\in G\rightarrow a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion von $\circ :G\times G\rightarrow G$
   1. z.B. ist $a^{n}$ in $\mathbb {N}$ nicht assoziativ, denn:
      1. $2^{(2^{3})}=2^{8}=256\leftarrow {2^{2}}^{3}$
      2. $({2^{2})}^{3}=2^{6}=64$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement (neutrales Element): Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$:
   1. z.B.: + in $\mathbb {Q}$: e = 0 ("Nullelement")
   2. z.B.: * in $\mathbb {Q}$: e = 1 ("Einselement")
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a'\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
   1. z.B.: + in $\mathbb {Q}$: a' = -a, denn a+(-a) = (-a)+(a) = 0
   2. z.B.: * in $\mathbb {Q}$: a' = ${\frac {1}{a}}$, denn $a*{\frac {1}{a}}$ = ${\frac {1}{a}}*a$ = 1
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.
   1. ist $a^{n}$ in $\mathbb {N}$ nicht kommutativ, denn $2^{3}\neq 3^{2}$
   2. in ${\mathfrak {P}}(M):(A\bigtriangleup B)=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)=(A\cup B)\backslash (A\cap B)$ - die symmetrische Differenz ist daher kommutativ

  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Gruppen

Zum Beispiel sei $\langle G,*\rangle$ eine Gruppe. Dann ist die Operation die Multiplikation, das neutrale Element 1, das inverse Element $a^{-1}$.

Als Rechenregeln gelten dann u.a.:

• $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$
• ${(a^{-1})}^{-1}=a$
• $a*c=b*c\Rightarrow a=b$ (Kürzungsregel)

$a*x=b$ ist eindeutig lösbar, denn: $x=a^{-1}*b$

$\left.{\begin{aligned}a^{m}*a^{n}&=&a^{m+n}\\{a^{m}}^{n}&=&a^{m*n}\end{aligned}}\right\}\qquad \forall m,n\in \mathbb {Z} {\text{ }}\mathbf {(!)} {\text{ , wobei }}a^{n}=a*a*...*a{\text{ (Mult. erfolgt n-mal) }},n>0$

${\begin{aligned}a^{0}&=&1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}a^{-n}&=&(a^{-1})*(a^{-1})*...*(a^{-1})\end{aligned}},{\text{ (Mult. erfolgt n-mal) }},n>0$

Zum Beispiel sei $\langle G,*\rangle$ wieder eine Gruppe. Eine Teilmenge $U\subseteq G$ heißt "Untergruppe", wenn $\langle U,*\rangle$ selbst eine Gruppe ist.

Notation: ${\begin{aligned}\langle U,*\rangle &\leq \langle G,*\rangle \end{aligned}}$, oder kurz $U\leq G$.

Satz (Charakterisierung von Untergruppen): Es sei $\langle G,*\rangle$ eine Gruppe und mit Einheitselement 1 und $U\subseteq G,U\neq \varnothing$. Dann gilt:

${\begin{aligned}U\leq G&\Leftrightarrow {\begin{cases}{\text{ }}(a)&a,b\in U\Rightarrow a*b\in U\\{\text{ }}(b)&1\in U\qquad \forall a,b\in G\\{\text{ }}(c)&a\in U\Rightarrow a^{-1}\in U\end{cases}}\left.{\begin{aligned}{\text{ }}\\{\text{ }}\\{\text{ }}\end{aligned}}\right\}\qquad \Leftrightarrow &(d){\text{ }}a,b\in U\Rightarrow a*b^{-1}\in U\end{aligned}}$

Bedingung (d) ist das sog. Untergruppenkriterium.

Jede Untergruppe $U\leq G$ hat eine Klasseneinteilung von G zur Folge: Es seien $U\leq G,a\in$. Wir definieen $a*U=\{a*n{\text{ }}|{\text{ }}n\in U\}$ als eine Nebenklasse von G nach U (Linksnebenklasse, LNK).

Analog wird mit U*a die Rechtsnebenklasse (RNK) gebildet.

Satz zur Nebenklassenzerlegung einer Gruppe

1. Die Menge aller LNK $K_{L}=\{a*U{\text{ }}|{\text{ }}a\in G\}$ bildet eine Partititon (Klasseneinteilung) von G, genannt Linksnebenklassenzerlegung von G nach U (analog für RNK).
2. Alle Nebenklassen sind gleich mächtig.
3. Die Anzahl aller LNK stimmt mit jener der RNK übereon ("Index" |G:U| von G nach U genannt.

Wenn G eine Abelsche Gruppe ist, dann gilt: LNK = RNK.

Satz von Lagrange: Ist G eine endliche Gruppe und $U\leq G$, so glt: |G| = |G:U|*U, d.h. die Ordnung (= Anzahl der Elemente) |U| jeder Untergruppe U ist stets Teiler der Gruppenordnung |G|.

Normalteiler: Eine Untergruppe $N\leq G$ heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. $a*N=N*a,\forall a\in G$. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen {aN | a $\in$ G} bildet selbst eine Gruppe, die Faktorengruppe G/N.

(aN)(bN) = (ab)N: a,b sind die Vertreter der jeweiligen Klasse. Man rechnet einfach mit den "Vertretern".