TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Theorie WS05/Matrizen

Allgemeine Begriffe

Isoliert man die Koeffizienten der Unbekannten aus jeder Gleichung des Gleichungssystems

$\begin{array}{ccccccccc}5x_1& +& 10x_2& +& 20x_3& +& 4x_4& =& 100\\ x_1& +& x_2& +& x_3& +& x_4& =& 10\\ 12x_1& +& 12x_2& +& 20x_3& & & =& 150\end{array}$

dann erhält man folgendes Schema:

$𝒜=\left(\begin{array}{cccc}5& 10& 20& 4\\ 1& 1& 1& 1\\ 12& 12& 20& 0\end{array}\right)$

Dabei ist $𝒜$ eine Matrix.

Eine $m\times n$ Matrix $𝒜$ ist ein rechteckiges Schema über dem Körper F', das aus $m\ast n$ Elementen $a_{ij}$ des Körpers F besteht.

$𝒜=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$

Man schreibt $a_{ij}$. Die Matrix $𝒜$ hat m Zeilen und n Spalten.

Der Vektor $z_i=(a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in})\in F_z^n$ ist der i-te Zeilenvektor von $𝒜$ und der Vektor

$s_j=\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right)\in F_s^m$

ist der i-te Spaltenvektor von $𝒜$. Alle Spaltenvektoren eine Matrix bilden den Spaltenraum (analog Zeile/Zeilenraum).

Wenn m = n, so ist $𝒜$ eine quadratische Matrix.

Unter einer Einheitsmatrix verstehen wir:

${ℰ}_n=\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & 1\end{array}\right)$

Die Hauptdiagonale besteht nur aus Einsern, die andern Positionen aus Nullen. Sollte nur obere Hälfte über der Diagonale aus Nullen bestehen, sprechen wir von einer oberen Dreiecksmatrix (analog die untere).

Vertauschen wir Zeilen und Spalten einer Matrix, so erhalten wir die transponierte Matrix $B=A^T$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2i& 1+i\\ i& 1+3i& -1\end{array}\right)\in M_{2,3}(ℂ)=B=(A^T)=\left(\begin{array}{cc}2& i\\ 2i& 1+3i\\ 1+i& -1\end{array}\right)\in M_{3,2}(ℂ)$

Rechengesetze für Matrizen

Bei zwei $m\times n$ Matrizen $𝒜=(a_{ij})$ und $ℬ=(b_{ij})$ wird die Summenmatrix $𝒜+ℬ$ durch $𝒜+ℬ=(a_{ij}+b_{ij})$ gebildet; die Multiplikationsmatrix $𝒜\ast b$ (b ist ein Skalar) durch $𝒜\ast b=(a_{ij}\ast b)$.

Beispiele: Es seien $𝒜=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$ und $ℬ=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1-1\end{array}\right)$,

dann ist

• $𝒜+ℬ=\left(\begin{array}{cc}1+2& -2+2\\ 0+1& 1-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$
• $𝒜\ast 3=\left(\begin{array}{cc}1\ast 3& (-2)\ast 3\\ 0\ast 3& 1\ast 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 0& 3\end{array}\right)$

Es können nur Matrizen addiert werden, die das gleiche Format haben!

Die Multiplikation zweier Matrizen miteinander veranschaulichen die folgenden Beispiele:

$𝒜=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

$𝒜\ast v=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1\ast 1& 1\ast (-1)& -1(\ast 2)\\ 0\ast 1& 1\ast (-1)& 1\ast 2\\ 2\ast 1& 1\ast (-1)& 0\ast 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

$𝒜=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right),ℬ=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$𝒜\ast ℬ=\left(\begin{array}{ccc}1\ast 2+(-2)\ast 1+0\ast 0& 1\ast 1+(-2)\ast (-1)+0\ast 0& 1\ast 1+(-2)\ast 0+0\ast 1\\ 0\ast 2+1\ast 1+1\ast 0& 0\ast 1+1\ast (-1)+1\ast 0& 0\ast 1+1\ast 0+1\ast 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$

Das Falksche Schema ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der Matrizenmultiplikation von Hand bietet. Der linke Faktor, die (m × r)-Matrix, wird links von der (m × n)-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die (r × n)-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die ite Zeile des linken Multiplikanden und die jte Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Gegeben sind die Matrizen

$A_{3\times 2}=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& -6\end{array}\right)$ und $B_{2\times 2}=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$ .

Es soll das Produkt C = A · B ermittelt werden. C ist eine 3 × 2-Matrix.

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 2 2 5 3 3 -6

Es wird das Falksche Schema aufgestellt.

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 3 2 2 5 3 3 -6

Die erste Zeile von A wird elementweise mit der ersten Spalte von B multipliziert: 1 · (-1) + 4 · 1 = 3 und ergibt das Element c11 = 3.

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 3 -7 2 2 5 3 3 -6

Die erste Zeile von A wird elementweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert: 1 · 1 + 4 · (-2) = -7 und ergibt das Element c12 = -7.

...

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 3 -7 2 2 5 3 -8 3 3 -6 -9 15

Die dritte Zeile von A wird elementweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert: 3 · 1 + (-6) · (-2) = 15 und ergibt das Element c32 = 15.

Weiteres zur Multiplikation:

• $𝒜\ast ℬ\ne ℬ\ast 𝒜$ (!!)
• $(𝒜\ast ℬ)\ast 𝒞=𝒜\ast (ℬ\ast 𝒞)$ (Assoziativgesetz)
• $𝒜\ast (ℬ+𝒞)=𝒜\ast ℬ+𝒜\ast 𝒞$ bzw. $(𝒜+ℬ)\ast 𝒞=𝒜\ast 𝒞+ℬ\ast 𝒞$

• $⟨M_{m,n}(ℝ),+⟩$ ist eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Element 0 = $\left(\begin{array}{ccc}0& \dots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \dots & 0\end{array}\right)$ und inversem Element -A = (-1)*A
• $⟨M_{m,n}(ℝ),+,\ast ⟩$ ist ein Ring mit Einselement $E_N=\left(\begin{array}{ccc}1& \dots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \dots & 1\end{array}\right)$
• $(AB{)}^T=\underset{\begin{array}{c}\text{vertauschen;}\\ \text{nicht kommutativ!}\end{array}}{\underbrace{B^T\ast A^T}},{(A^T)}^T=A$

Determinanten

Es sei $A=(a_{ij})$ eine $n\times n$-Matrix über $ℝ$.

Dann ist die Determinante $|A|\in ℝ$ wie folgt definiert:

• n = 1: $A=(a_{ij})|A|=a_{11}$
• n = 2: $|A|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\ast a_{22}-a_{12}\ast a_{21}$
• n = 3: $|A|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& {𝑎}_{22}& {𝑎}_{23}\\ a_{31}& {𝑎}_{32}& {𝑎}_{33}\end{array}\right|=a_{11}\ast \left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\ast \left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\ast \left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|=a_{11}\ast A_{11}+a_{12}\ast A_{12}+a_{13}\ast A_{13}$ (entwickelt nach der ersten Zeile)

Die Determinante |A| einer $n\times n$-Matrix (n > 1) ist definiert als $|A|=a_{11}\ast A_{11}+a_{12}\ast A_{12}+\dots +a_{1n}\ast A_{1n}$, wobei $A_{ij}={(-1)}^{i+j}$.

Der Entwicklungssatz von Laplace besagt, dass eine Determinante nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt werden kann.

Folgende Eigenschaften von Determinanten kann man bei der Berechnung verwenden:

1. Vertauscht man zwei Zeilen oder zwei Spalten, so ändert sich das Vorzeichen.
2. Multipliziert man eine Zeile (Spalte) mit einem konstanten Faktor, so multipliziert sich die Determinante mit diesem Faktor.
3. Addiert man ein Vielfaches einer Zeile (Spalte) u einer andern Zeile (Spalte), so ändert sich die Determinante nicht (!).
4. Für transponierte Matrizen bzw. das Produkt von Matrizen gilt: $|A^T|=|A|$ und $|A\ast B|=|A|\ast |B|$.

Beispiele:

• $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=4-6=2$
• $\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 3& 0& 1\\ 0& -1& 4\end{array}\right|\underset{\text{entw.n.1.Z.}}{\underbrace{=}}2\ast \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 4\end{array}\right|-3\ast \left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 4\end{array}\right|+(-1)\ast \left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -1\end{array}\right|=2-36+3=-31$

$\left|\begin{array}{cccc}4& 2& 4& 3\\ 1& -1& -2& 2\\ 0& 5& -3& -1\\ 2& 1& 1& 2\end{array}\right|{\underbrace{=}}_{z_1-4z_2,z_4-2z_2}^3\left|\begin{array}{cccc}0& 6& 12& -5\\ 1& -1& -2& 2\\ 0& 5& -3& -1\\ 0& 3& 5& 2\end{array}\right|=$

$=(-1)\ast \left|\begin{array}{ccc}6& 12& 5\\ 5& -3& \mathit{-}1\\ 3& 5& \mathit{-}2\end{array}\right|{\underbrace{=}}_{s_3\ast (-1)}^2\left|\begin{array}{ccc}6& 12& 5\\ 5& -3& 1\\ 3& 5& 2\end{array}\right|{\underbrace{=}}_{z_1-5z_2,z_1-2z_2}^3\left|\begin{array}{ccc}-19& 27& 0\\ 5& -3& 1\\ -7& 11& 0\end{array}\right|=$

$=(-1)\ast \left|\begin{array}{cc}-19& 27\\ -7& 11\end{array}\right|=-(-19\ast 11+7\ast 27)=20$

Invertierbarkeit

Wenn es bei einer $n\times n$-Matrix A eine Matrix $A^{-1}$ gibt, so dass gilt $A\ast A^{-1}=A^{-1}\ast A=E_n$ so ist die Matrix A invertierbar. $A^{-1}$ ist dann die inverse Matrix zu A

Beispiele:

• $\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)\Rightarrow A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)$, denn $A\ast A^{-1}=A^{-1}\ast A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E_2$
• $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ ist nicht invertierbar (d.h. singulär), denn $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ 0& \underset{\ne 1}{\underbrace{0}}\end{array}\right)\ne E_2$
• $E_n^{-1}=E_n$
• Wenn A und B invertierbare Matrizen sind, dann ist auch A*B invertierbar und ${(A\ast B)}^{-1}=B^{-1}\ast A^{-1}$

Wie berechnet man $A^{-1}$?

$A\ast A^{-1}=E\Rightarrow |A|\ast |A^{-1}|=|E|\Rightarrow |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$

Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$

$|A|=\left|\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right|=10-9=1\ne 0\Rightarrow$ A ist nichtsingulär, $\mathrm{\exists }{A}^{-1}$

$A^{-1}=\frac{1}{1}{\left(\begin{array}{cc}+2& -3\\ -3& +5\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}+2& -3\\ -3& +5\end{array}\right)$

Allgemein gilt für $2\times 2$-Matrizen: $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

Die Inverse lässt sich mit Hilfe der Determinanten der Matrix berechnen, und zwar nach der Formel

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot A^{†}$,

dabei ist $A^{†}$ die komplementäre Matrix zu A (auch algebraisches Komplement genannt).

Die Transponierte der aus den vorzeichenbehafteten Minoren bestehende Matrix bezeichnet man als die zu A komplementäre Matrix A^#:

$A^{\mathrm{♯}}:=\left(\begin{array}{cccc}+det(A_{1,1})& -det(A_{2,1})& \dots & (-1{)}^{1+n}det(A_{n,1})\\ -det(A_{1,2})& +det(A_{2,2})& \dots & (-1{)}^{2+n}det(A_{n,2})\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ (-1{)}^{n+1}det(A_{1,n})& (-1{)}^{n+2}det(A_{2,n})& \dots & +det(A_{n,n})\end{array}\right)$

Man benötigt eine Art "Vorzeichenmuster": $\left(\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right)$

$\mathrm{\infty }$