TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Theorie WS05/Vektoren

Der Vektor in der Ebene

Der Begriff "Vektor" stammt aus der Geometrie und Mechanik.

• In der Geometrie ist ein Vektor eine Klasse von Pfeilen gleicher Länge (Betrag), gleicher Richtung und gleicher Orientierung.${}_1$
• In der Mechanik symbolisieren Vektoren die Einwirkungen von Kräften.

Verschieben wir eine Ebene zunächst parallel:

Der Punkt $O$ wird mit dem Achsenkreuz $xy$ nach $O^{\prime }$ mit dem Achsenkreuz $x^{\prime }{y}^{\prime }$ verschoben.

Die Strecke der Verschiebung, $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ wird Verschiebungsvektor oder kurz Vektor genannt.

Was passiert, wenn wir zwei Verschiebungen mit den Verschiebungsvektoren hintereinander ausführen?

Es entsteht wieder ein Vektor z, der als Summe der Vektoren v und w bezeichnet wird (Parallelogrammgesetz; man beachte die Assoziativität und Kommutativität der Operation!).

Addiert man einen Vektor n Mal, so erhält man den Vektor nv: Einem Vektor derselben Richtung wie v und der n-fachen Länge.

Dieses Additionsgesetz gilt auch für Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Kräfte und ähnliche gerichtete Grössen in dr Mechanik und Physik, welche sich als Vektoren darstellen lassen.

Man kann Vektoren auf diese Art und Weise auch in Komponenten zerlegen.

Basierend auf den Einheitsvektoren $e_1$ und $e_2$ mit der Länge 1 kann man einen Vektor, an den Achsen orientierend, als $x=a_1\ast e_1$ und $y=a_2\ast e_2$ anschreiben. ($\mathrm{\forall }{a}_1,a_2\in ℝ$)

Oft verwendet man dann auch für die Gesamtbeschreibung $\overrightarrow{v}=a_1\ast e_1+a_2\ast e_2$ oder kürzer: $\overrightarrow{v}=(a_1,a_2)$.

Die Addition zweier Vektoren $\overrightarrow{v}=(a_1,a_2)$ und $\overrightarrow{w}=(b_1,a{b}_2)$ schreibt man dann als: $(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=a_1+b_1,a_2+b_2$.

Weitere Begriffe:

• Betrag (Länge) eines Vektors: $|\overrightarrow{v}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ (rechtwinkelige katesische Koordinaten vorausgesetzt, damit Satz von Phytagoras angewendet werden kann)
• Nullvektor: Betrag ist Null, da $a_1=a_2=0$
• Einheitsvektor: Betrag ist Eins

Vektoren in einem n-dimensionalen euklidischen Raum

Ein euklidischer Raum ist in der Mathematik ein Raum, für den die Gesetze der euklidischen Geometrie gelten. Euklidische Räume existieren in beliebigen Dimensionen n. Ein zweidimensionaler euklidischer Raum heißt auch euklidische Ebene.

Algebraisch lässt sich ein euklidischer Raum in beliebigen Dimensionen n (n > 0) durch das n-fache kartesische Produkt der reellen Zahlenmenge $ℝ$ beschreiben. Da bei dieser Beschreibung keine Informationen verlorengehen, wird der Begriff häufig auf diesen speziellen Raum verengt, der dann als $R^n$ oder auch $E^n$ bezeichnet wird.

Ein Euklidischer Raum muss nicht notwendigerweise durch den speziellen Raum $R^n$ beschrieben werden: Jeder endlichdimensionale Vektorraum, auf dem ein Skalarprodukt definiert ist, das je zwei Vektoren eine reelle Zahl zuordnet, ist zugleich ein Modell eines Euklidischen Raums gleicher Dimension; man bezeichnet einen solchen Vektorraum daher auch als Euklidischen Vektorraum. Allerdings ist durch Auswahl einer Basis jeder Euklidische Vektorraum isomorph zu dem speziellen Raum $R^n$, das heißt, es gibt zumindest hinsichtlich der Geometrie keine Unterschiede zwischen beiden.${}_2$

Ein Vektor wird dabei definoert als ein System von n geordneten reellen Zahlen $a_1,a_2,\dots ,a_n$ (im folgenden sind $e_1=(1,0,\dots ,0),e_2=(0,1,\dots ,0),\dots ,e_n=(0,0,\dots ,1)$ die Basisvektoren):

• Mögliche Schreibweise: $a=e_1\ast a_1+e_2\ast a_2+\dots +e_n\ast a_n$
• kürzer: $a=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$

Die Addition von Vektoren ist kommutativ und assoziativ und erfolgt durch:

• $a+b=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)$

Die Subtraktion ist einfach die Umkehrung der Addionion, wobei a - a den Nullvektor ergibt!

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar $\delta$ (Skalar $\in ℝ$)erfolgt durch:

• $\delta \ast a=a\ast \delta =(\delta \ast a_1,\delta \ast a_2,\dots ,\delta \ast a_n)$
• 1*a = a, 0*a = 0

Wir befinden uns in ${ℝ}^n$ und betrachten:

• Vektoren: $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}\in {ℝ}^n$
• Skalare: ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\in ℝ$

Ein Vektor mit der Form $\overrightarrow{y}={\lambda }_1\ast \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\ast \overrightarrow{x_n}$ heißt Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$.

Die Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$ heißen linear abhängig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: $\overrightarrow{x_1}={\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+{\lambda }_3\ast \overrightarrow{x_3}+\dots +{\lambda }_n\ast \overrightarrow{x_n}$

Andernfalls heißen $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$ linear unabhängig.

Satz: Die Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$ sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: ${\lambda }_1\ast \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\ast \overrightarrow{x_n}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {\lambda }_1={\lambda }_2=\dots ={\lambda }_n=0$

Das innere oder skalare Produkt zweier Vektoren (skalares Produkt) ist ein Skalar (die Operation ist kommutativ und distributiv, ABER NICHT ASSOZIATIV, denn das erste innere Produkt ist ein Skalar!)

• $a\ast b=b\ast a=a_1\ast b_1+a_2\ast b_2+\dots +a_n\ast b_n$

Betrachten wir folgende Grafik:

Dabei können wir den Cosinussatz anwenden! Es ergibt sich:

• $|a^2-b^2|=|a{|}^2+|b{|}^2-2\ast |a|\ast |b|\ast \cos \varphi$

Es gilt ferner:

• $\cos \varphi =\frac{a\ast b}{|a|\ast |b|}$

Wenn a*b = 0 so folgt daraus $\varphi =\frac{\pi }{2}$ - d.h. a und b sind orthogonal zueinander!

Vektorprodukt (äusseres Produkt)

In ${ℝ}^3$ gilt: $\overrightarrow{z}=\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}$

Für $\overrightarrow{z}$ gilt:

• $\overrightarrow{z}=\overrightarrow{0}$ wenn $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ oder $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{0}$ oder $\overrightarrow{x}=\lambda \ast \overrightarrow{y}$ (parallel)
• sonst: $\overrightarrow{z}$ orthogonal zu $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$
• ||$\overrightarrow{z}$|| = ||$\overrightarrow{x}$||*||$\overrightarrow{y}$||, wobei $\varphi$ der Winkel zwischen $\overrightarrow{x}$ und $\overrightarrow{y}$ ist. Dies ist Fläche des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelogramms
• $\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{y}$,$\overrightarrow{z}$ bilden ein Rechtssystem (3-Finger-Regel, rechte Hand)

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)\Rightarrow \overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ x_3& y_3\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_3& y_3\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|\end{array}\right)$

3 Determinanten, wobei gilt: Determinante aus ${}^{+}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}^{-}=a\ast d-b\ast c$

Es gelten folgende Rechengesetze:

• $\overrightarrow{y}\times \overrightarrow{x}=-\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}$
• $(\lambda \overrightarrow{x})\times \overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}\times \lambda \overrightarrow{y})=\lambda (\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y})$
• $\overrightarrow{x}\times (\overrightarrow{y}+\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\times \overrightarrow{y}$, $(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})\times \overrightarrow{z}=\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{z}+\overrightarrow{y}\times \overrightarrow{z}$ (Distributivgesetz)

• $(\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y})\times \overrightarrow{z}=(\overrightarrow{x}\ast \overrightarrow{z})\ast \overrightarrow{y}-(\overrightarrow{y}\ast \overrightarrow{z})\ast \overrightarrow{x}$ - Graßmannscher Entwicklungssatz
• $(\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y})(\overrightarrow{z}\times \overrightarrow{u})=(\overrightarrow{x}\overrightarrow{z})(\overrightarrow{y}\overrightarrow{u})-(\overrightarrow{x}\overrightarrow{u})(\overrightarrow{y}\overrightarrow{z})$ - Lagrang'sche Identität

Verweise

${}_1$ http://de.wikipedia.org/wiki/Vektor

${}_2$ http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Raum