TU Wien:Mathematik 1 VO (Drmota)/Prüfung 2009-07-02

Angabe

vom Gleichnamigen Thread im Informatik-Forum f.thread:74294, Gruppe A und B waren vermutlich nur von der Reihenfolge her anders!

Beispiel 1 (Induktion)

Anhand der folgenden Formel ist die vollständige Induktion zu erklären:

$\cos (x)\ast cos(2x)\ast cos(4x)\ast \mathrm{...}\ast cos(2^{n}x)=\frac{\sin (2^{n+1}x)}{2^{n+1}\sin (x)}$

Hinweis: $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

Beispiel 2 (Graphentheorie)

Gegebn ist folgende Adjazentenmatrix:

$A(G)=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right)$

• Skizzieren Sie den Graphen G.
• Geben Sie die geschlossene eulersche Linie an (sofern vorhanden)
• Geben Sie die geschlossene hamiltonsche Linie an (sofern vorhanden)
• Geben Sie einen spannenden Baum des Graphen an.

Beispiel 3 (Matrizenoperationen)

Gegeben ist die Matrix:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 1& 4\\ 1& 2& -5\end{array}\right)$

• Bestimmen Sie die Determinante det(A).
• Bestimmen Sie, sofern vorhanden, $A^{-1}$ - die inverse Matrix zu A.
• Bestimmen Sie, ohne weitere Rechnung:
  • det$((A^3{)}^{-1})$ und
  • $(A^T{)}^{-1}$

Beispiel 4 (Theorie Folgen & Reihen)

Wann ist eine Reihe Konvergent? Wie lautet das Leibniz-Kriterium?

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:

$\sum _{n\ge 0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{5}{6}{)}^n$

$\sum _{n\ge 1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3}{n}$

$\sum _{n\ge 1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}$

Beispiel 5 (Theorie Algebraische Strukturen)

• Wie lautet die Definition für eine Gruppe? Genaue Erklärung.
• Geben Sie je ein Beispiel für eine endliche Gruppe und eine unendliche Gruppe an.
• Geben Sie ein Beispiel für eine algebraische Struktur (mit binärer Operation) an, die keine Gruppe ist.

Ausarbeitung

Beispiel 1 (Induktion)

• Induktionsanfang n=0

$cos(x)=\frac{sin(2\ast x)}{2\ast sin(x)}=\frac{2\ast sin(x)\ast cos(x)}{2\ast sin(x)}=cos(x)$

• Induktionsschritt

$\prod _{k=0}^{n+1}cos(2^{k}x)=\prod _{k=0}^{n}cos(2^{k}x)\ast cos(2^{n+1}x)$

$\frac{sin(2^{n+2}\ast x)}{2^{n+2}\ast sin(x)}=\frac{sin(2^{n+1}\ast x)}{2^{n+1}\ast sin(x)}\ast cos(2^{n+1}\ast x)$

$\frac{sin(2^{n+2}\ast x)}{2}=sin(2^{n+1}\ast x)\ast cos(2^{n+1}\ast x)$

$sin(2\ast 2^{n+1}\ast x)=2\ast sin(2^{n+1}\ast x)\ast cos(2^{n+1}\ast x)\to$ Hinweis aus Angabe, mit $x:=2^{n+1}\ast x$

--Anwesender 21:49, 3. Jul. 2009 (CEST)

Beispiel 2 (Graphentheorie)

Lösung von --Mhaslhofer 10:53, 4. Jul. 2009 (CEST)

$\left(\begin{array}{ccccccc}& A& B& C& D& E& F\\ A& 0& 1& 1& 0& 0& 0\\ B& 1& 0& 1& 1& 0& 1\\ C& 1& 1& 0& 1& 0& 1\\ D& 0& 1& 1& 0& 1& 1\\ E& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ F& 0& 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right)$

• Skizze

• eulersche Linie (A->B->F->D->B->C->D->E->F->C->A)

• hamiltonsche Linie

• spannender Baum

Beispiel 3 (Matrizenoperationen)

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 1& 4\\ 1& 2& -5\end{array}\right)$

Determinante: $-5+3\ast 4+0-0-8-0=12-8-5=-1$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}13& -15& -12\\ -4& 5& 4\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$

$A^{-1^T}=A^{T^{-1}}=\left(\begin{array}{ccc}13& -4& 1\\ -15& 5& -1\\ -12& 4& -1\end{array}\right)$

$det(A^{3^{-1}})=det(A{)}^{3^{-1}}={(-1{)}^3}^{-1}=-1$

--Anwesender 22:54, 3. Jul. 2009 (CEST)

Beispiel 4 (Theorie Folgen & Reihen)

• Wann ist eine Reihe Konvergent?

• Wie lautet das Leibniz-Kriterium?

• Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
  • $\sum _{n\ge 0}(\frac{5}{6}{)}^n$
    • Lösung von Anwesender
      • konvergent, Wurzelkriterium
      • $\sqrt[n]{(\frac{5}{6}{)}^n}=\frac{5}{6}\le 1$
    • Lösung von Mhaslhofer
      • $(\frac{5}{6}{)}^n=q^{n}mitq<1$
      • Das ist dann eine geometrische Reihe, und die konvergiert für q<1

• • $\sum _{n\ge 1}\frac{3}{n}$
    • divergent, Harmonische Reihe (Buch S. 149/150) --Mhaslhofer

• • $\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^n}{n}$
    • konvergent, Leibnizkriterium --Anwesender

Beispiel 5 (Theorie Algebraische Strukturen)

Lösung von --Mhaslhofer 21:21, 3. Jul. 2009 (CEST)

• Die Kriterien für eine Gruppe (G,$\circ$) sind:

1. Abgeschlossenheit bezüglich der binären Operation $\circ$
   daher: $\mathrm{\forall }a,bϵG:a\circ bϵG$
2. Die binären Operation $\circ$ ist assoziativ
   daher: $\mathrm{\forall }a,b,cϵG:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
3. Existenz eines (links-)neutralen Elements $e$
   daher: $\mathrm{\exists }eϵG:e\circ a=a\mathrm{\forall }aϵG$
4. Existenz (links-)inverser Elemente
   daher: $\mathrm{\forall }aϵG\mathrm{\exists }{a}^{\prime }:a^{\prime }\circ a=e$

• Beispiel für eine endliche Gruppe: $({\mathbb{Z}}_3,+)$
• Beispiel für eine unendliche Gruppe: $(\mathbb{Z},+)$
• Beispiel für eine algebraische Struktur, die keine Gruppe ist: $(\mathbb{Z},\ast )$ wobei $\ast$ die "normale" Multiplikation ist.
  Bei $(\mathbb{Z},\ast )$ fehlen dann die meisten inversen Elemente.