TU Wien:Mathematik 1 VO (Panholzer)/Stoff WS05/10. VO 07.11.2005

Herzlichen Dank an Alina, dass ich ihre Mitschrift verwenden konnte um hier nachzutragen! ---Mnemetz 10:45, 10. Nov 2005 (CET)

Halbordnungs-Relationen

Beispiel: $\langle \mathbb {Z} ,\leq \rangle$ und (Halb-)Ordnungsrelation auf $\mathbb {Z}$

Hasse-Diagramm stellt "Kette" dar:

$T_{1}:=\{m\in \mathbb {N} :m|n\},n>1,n\in \mathbb {N}$

Positive Teiler von n: es gilt

$\langle T_{m},|\rangle$ (| steht für "teilt") bildet Halbordnung, erfüllt (R), (A), (T)

wähle n=12; $T_{12}$= {1,2,3,4,6,12}

$\langle T_{12},|\rangle$

Hasse-Diagramm:

Abbildungen: $R\subseteq A\times B$ heißt Abbildung, wenn für alle $a\in A$ genau ein $b\in B$ existiert, sodass gilt: $(a,b)\in \mathbb {R}$

Schreibweise:

gilt $(a,b)\in \mathbb {R} schreibtman''f(a)=b''(Urbild)$

Statt $R\subseteq A\times B$ schreibt man $f:A\rightarrow B$ (A ist die Definitionsmenge, B die Wertemenge)

Definition: eine Abbildung $f:A\rightarrow B$ heisst:

• injektiv, wenn $\forall b\in B$ höchstens ein $a\in A$ existiert, sodass $f(a)=b$
• surjektiv, wenn $\forall b\in B$ mindestens ein $a\in A$ existiert, sodass $f(a)=b$
• bijektiv, wenn $\forall b\in B$ genau ein $a\in A$ existiert, sodass $f(a)=b$

Injektiv: $f(a_{i})=f(a_{j})\Rightarrow a_{i}=a_{j}$ (wenn Abbildung und Urbilder gleich)

surjektiv: f(A) = B, {$f(a):a\in A$}

Jedes B muss ein Urbild haben (mehrere Urbilder dürfen vorhanden sein)

bijektiv: injektiv und surjektiv zusammen!

wenn $f:A\rightarrow B$ bijektiv, dann ist $\exists f^{-1}:B\rightarrow A$ die Umkehrabbildung (inverse Abbildung). $f^{-1}(b)=a\Leftrightarrow f(a)=b$

Folgende Grafik zeigt für jedes B genau ein Urbild!

Beispiel: $R\rightarrow R,\qquad y=f(x)=x^{2}$

(für $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ nicht injektiv, dafür aber surjektiv!

$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ ... bijektiv (surjektiv und injektiv)

Es gibt eine Umkehrabbildung: $f^{-1}:\mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} \qquad y={\sqrt {x}}$

Betrachte Abbildung: $f:A\rightarrow A$, A ist eine endliche Menge - dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. f ist injektiv
2. f ist surjektiv
3. f ist bijektiv

Beweis: Ringbeweis

1. $\Rightarrow$ 2.:

A: $A\rightarrow A$ geg., A injektiv, r. r.f. surjektiv

A(A) = {f($a_{1}$, ... , f($a_{n}$}

$f(a_{i})\neq f(a_{j})$ - ein Bild darf nicht 2 Urbilder haben!

(Mächtigkeit) $|f(A)|=|A|\wedge A(A)\subseteq A\rightarrow A(A)=A$ daher surjektiv

2. $\Rightarrow$ 3.:

A: $A\rightarrow A$ geg., A surjektiv, A bijektiv

Indirekter Beweis: angenommenes f nicht injektiv

d.h. $\exists a_{i},a_{j}\qquad i\neq j\rightarrow f(a_{)}=f(A_{j})$

$|f(A)|=|f(a_{1}),f(a_{2}),...,f(a_{n})|\leq n-1$

Es gilt aber:

$f(A))A\Rightarrow |f(A)|=(A)=n\Rightarrow$ Widerspruch zur Annahme, f sei nicht injektiv

$\rightarrow$ injketiv + surjektiv = bijektiv

3. $\Rightarrow$ 1.: Trivial.

Mathematische Logik

Defintion: "Aussage" = Satz, dass ein Wahrheitswert "wahr/falsch" zugeordnet werden kann. (B={0,1})

Aussagenvariable = ariable mit Werten aus B

Prädikat (Aussageform) = Satz in der Form $P(x_{1},...,x_{n})$ der erst nach Belegung der Variablen $x_{1},...,x_{n}$ (aus einer Grundmenge) in einer Aussage überführt.

Beispiel: Assauge 1 + 1 = 3 falsch, 3 = Primzahl (wahr)

Beispiel: Jede gerade Zahl > z lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen. Wie lautet der Wahrheitswert?

Prädikat: P(x): x ist eine Prmzahl, $x\in \mathbb {N}$

P(2) wahr, P(4) falsch

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