Begriffe: einfacher Graph = ungerichteter Graph (keien Mehrfach., keine Schlingen)
- transitive Hülle (= transitiver Abschluss)
Am gerichteten, schlichten Graphen
Transitive Hülle:
wobei gilt:
Es existiert ein gerader Weg von u nach v im ursprünglichen Graphen G
(Graph 1)
Transitive Reduktion:
heißt eine transitive Reduktion von G, falls
und
minimal.
Definition: EIne Abbildung
heißt zweistellige Operation (= binäre Operation) in M
Menge M ist beliebig
d.h. jedem Paar
wird genau ein Element
aus M zugeordnet
Beispiele:
- a + b in
![{\displaystyle \mathbb {Q} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5eac308e29708e918ed13a88a4249b74&mode=mathml)
- a - b in
![{\displaystyle \mathbb {Q} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5eac308e29708e918ed13a88a4249b74&mode=mathml)
- a * b in
![{\displaystyle \mathbb {Q} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5eac308e29708e918ed13a88a4249b74&mode=mathml)
- a^b in
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=107f5c8797d7ab2bb7b974cbfc89179e&mode=mathml)
Seien
- f:
![{\displaystyle D\rightarrow \mathbb {R} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f907c36a0d918f6c4b30f5d0217ed36b&mode=mathml)
- g:
Abb.
Def.: auf der Menge aller Abb. von
eine binäre Operation + durch
Punktweise erkl. Addition von Fkt.
- M
![{\displaystyle {\mathfrak {P}}(M)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5dc5a19ca3a6b28758b7a4deb8440587&mode=mathml)
Binäre Operationen
auf
binäre Operation auf
durch Operationstafel vollständig beantwortbar
0 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Eigenschaften von
bin. Op. auf M
i.A.
z.B. (2^3)^2 nicht gleich 2^(3^2)
nicht assoziativ
+,* auf
+,* sind auf
kommutativ
- Existenz eines neutralen Elementes e
d.h. e ein neutrales Element von
betrifft
- 0 neutral bei +
- 1 neutral bei *
- Existenz eines inversen Elements
sei
, ein Element
mit
(e ist neutrales Elem.)
dann heißt a' inverses Element von A
Beispiel:
, Op. +
Es gibt
ein inverses Element
nämlich
inverses Element *
inverses Element
- Distributivität Operationen
,*
dann heißt
linksdistributiv bez. *
dann heißt
rechtsdistributiv bez. *
Distributivität bez. + in
Eine Menge zusammen mit Operationen in M (n-stellige Operationen) heißt Algebraische Struktur (Abkürzung: Algebra)
z.B.:
- +,* binäre Operation
- - einstellige Operation
- 0,1 n-stellige Operation
n-stellige Oprationen:
(n mal ausgeführt)
Abb. v.
Def.: Menge M, binäre Operation
in M,
, heißt Gruppoid
(manchmal sagt man,
ist abgeschlossen)
d.h.
- wenn
assoziativ, dann
heißt Halbgruppe
- wenn
ein neutrales Element besitzt (also e), dann heißt
ein Monoid
- wenn
ein inverses Element a' existiert, dann heißt
eine Gruppe
- wenn
kommutatiov, dann kommutative Gruppe (Abelsche Gruppe)