TU Wien:Mathematik 1 VO (Panholzer)/Stoff WS05/22. VO 29.11.2005

Zyklus der Länge m $(a_{1},a_{2},...,a_{m})$

$\pi (a_{1})=a_{2},\pi (a_{2})=a_{3},...\pi (a_{m})=a_{1}$

"Produkt" von Transpositionen

$(a_{1}a_{m})...(a_{1}a_{4})(a_{1}a_{3})(a_{1}a_{2})$

Beispiel:

  1  2  3  4  5
  2  3  4  5  1

Entspricht (1 2 3 4 5) = (15)(14)(13)(12)

  1  2  3  4  5
  1  2  3  4  5

         $\downdownarrows$  (1 2)

  1  2  3  4  5
  2  1  3  4  5

         $\downdownarrows$  (1 3)

  1  2  3  4  5
  2  3  1  4  5

         $\downdownarrows$  (1 4)

  1  2  3  4  5
  2  3  4  1  5

         $\downdownarrows$  (1 5)

  1  2  3  4  5
  2  3  4  5  1

Beispiel: $\pi =$

  1  2  3  4  5  6
  4  2  5  1  6  3

= (1 4)(2)(3 5 6) = (1 4)(2) (3 6)(3 5)

$\rho =$

  1  2  3  4  5  6
  2  4  3  6  1  5

= (1 2 4 6 5)(3) = (1 5)(1 6)(1 4)(1 2)(3)

Beispiel: Drehungen gls. $\bigtriangleup$

(Grafik Mitschrift)

$\rho _{0^{\circ }}={\begin{pmatrix}123\\123\end{pmatrix}}=(1)(2)(3)$

$\rho _{120^{\circ }}={\begin{pmatrix}123\\232\end{pmatrix}}=(123)$

$\rho _{120^{\circ }}={\begin{pmatrix}123\\312\end{pmatrix}}=(132)$

d.h. es gilt: $G=\langle \{\rho _{0^{c}irc},\rho _{120^{c}irc},\rho _{240^{c}irc},\rangle \},\circ$ ist eine Gruppe

Beispiel: Quadrat Ecken 1 2 3 4 Drehung um 0 oder 180° - Spiegelung entlang der Diagonalen

$\rho _{0^{\circ }}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&\\1&2&3&4&\end{pmatrix}}=(1)(2)(3)(3)$

180° analog zu führen

Spiegelung 1:

  1  2  3  4
  1  4  3  2

entspricht (2 4)(1)(3)

Spiegelung 2 analog

Daher existiert eine Gruppe ("Kleinsche Vierergruppe"=

Grundbegriffe der Gruppentheorie

$\langle G,*\rangle$ sei eine Gruppe (nicht notwendigerweise kommutativ)

1 ist neutrales Element
$a^{-1}$ ist inverses Element zu a

Rechenregeln:

$(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$

$(a*b)*(a*b)^{-1}=1\qquad |*a^{-1}$ (von links)

$b*(a*b)^{-1}=a^{-1}\qquad |*b^{-1}$ (von links)</math>

$\Rightarrow (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$

$(a^{-1})^{-1}=a$

Gleichung: a*x = b | * $a^{-1}$

$x=a^{-1}*b$

Kürzungsregel: a * c = b * c $\Rightarrow$ a = b (trivial zu beweisen)

Weiters:

$a^{m}*a^{n}=a^{m+n}$

$(a^{m})^{n}=a^{m*n}$

Für beide gilt : $\forall a\in {\text{ Gruppe }}G,\forall m,n\in \mathbb {Z}$

$a^{n}=a*a*a*a...$ (n Mal)

$a^{0}:=1$

$a^{-n}:=(a^{-1})(a^{-1})(a^{-1})...$ n Mal, n reell positiv

Definition: Eine Teilmenge $U\subseteq G$ (wobei $\langle G\rangle$ eine Gruppe ist, heißt Untergruppe von G, wenn $\langle U\subseteq G\rangle$ selbst eine Gruppe ist

Beispiel: Drehungen des Gleichseitigen Dreiecks

Weiteres Beispiel: $\langle \mathbb {Q} ^{+},*\rangle$ ist Untergruppe von $\langle \mathbb {Q} \backslash \{0\},*\rangle$

Notation: $U\leq G$ oder $U\triangleq G$

Satz (Untegruppenkriterium): Sei $G,*$ eine Gruppe. Für eine Teilmenge $U\subseteq G,U\neq \emptyset$ gilt dann: $U\leq G$ wenn gilt a) a*b $\in U,\forall a,b\in U$ b) 1 $\in U$ c) $a^{-1}\in U,\forall a\in U$