TU Wien:Mathematik 1 VO (Panholzer)/Stoff WS05/25. VO 06.12.2005

Vektoren in $\mathbb {R} ^{n}$

Vektoren $\mathbb {R} ^{2}=\{x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}},x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$

Vektoren $\mathbb {R} ^{3}=\{x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}},x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R}$

Vektoren $\mathbb {R} ^{n}=\{x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}\end{pmatrix}},x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb {R}$ (n-dimensionaler Speltvektor)

$x_{1},x_{2},...,x_{n}$ (Zeilenvektor, $x_{i}\in \mathbb {R}$

Rechenregeln für Vektoren:

x + y (Ergänzung folgt)

Nullvektor:

Nullvektor und Addition (Ergänzung folgt)

$-{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-x_{1}\\-x_{2}\\...\\-x_{n}\end{pmatrix}}$

${\vec {x}}+(-{\vec {x}})={\vec {0}}$

Menge aller Vektoren in $\mathbb {R} ^{n}$ zusammen mit der Addition bilten eine kommutative Gruppe ( $\langle \mathbb {R} ^{n},+\rangle$

Multiplikation mit Skalar

$\lambda \in \mathbb {R} ,{\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\...\\x_{n}\end{pmatrix}}$

$\lambda *{\vec {x}}={\begin{pmatrix}\lambda *x_{1}\\...\\\lambda *x_{n}\end{pmatrix}}$

Gerade darstellen als: $g:{\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda *{\vec {b}}$

${\vec {a}}$ = Punkt
${\vec {b}}$ = Richtungsvektor

Ebene: $\epsilon :{\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda *{\vec {b}}+\mu *{\vec {x}}$

Länge eines Vektors: $||{\vec {x}}||={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}$ nach euklidischer Norm

Skalarprodukt von Vektoren (inneres Produkt):

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}\end{pmatrix}}$

${\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\...\\y_{n}\end{pmatrix}}$

${\vec {x}}*{\vec {y}}=x_{1}*y_{1}+x_{2}*y_{2}+...+x_{n}*y_{n}$

Skalarprodukt: $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $({\vec {x}},{\vec {y}}\rightarrow {\vec {x}}*{\vec {y}}$

Orthogonalität von ${\vec {x}}$ und ${\vec {y}}$ : Hypothenuse ist ${\vec {x}}-{\vec {y}}$ (Ergänzung s. Skriptum) - Satz v. Pythagoras f. das rechtwinkelige Dreieck

Es gilt: $||{\vec {x}}||^{2}={\vec {x}}*{\vec {x}}={\vec {x}}^{2}$

$||{\vec {x}}-{\vec {y}}||^{2}=({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}=({\vec {x}}-{\vec {y}})*({\vec {x}}-{\vec {y}})={\vec {x}}^{2}+{\vec {y}}^{2}-2*{\vec {x}}{\vec {y}}$

Stehen die Vektoren orthogonal, so gilt: $||{\vec {x}}-{\vec {y}}||^{2}=||{\vec {x}}||^{2}+||{\vec {y}}||^{2}$

Produkt bei orthogonalen Vektoren ergibt 0.

Winkel zwischen ${\vec {x}}$ und ${\vec {y}}$ : $\phi =\lessdot ({\vec {x}},{\vec {y}})$

Cosinussatz s. Skriptum S. 78 (Ergänzung folgt)

$||{\vec {x}}||^{2}+||{\vec {y}}||^{2}-2{\vec {x}}{\vec {y}}=||{\vec {x}}||^{2}+||{\vec {y}}||^{2}-2||{\vec {x}}||||{\vec {y}}||cos\phi \Rightarrow cos\phi ={\frac {{\vec {x}}{\vec {y}}}{||{\vec {y}}||||{\vec {y}}||}}$