TU Wien:Mathematik 1 VO (Panholzer)/Stoff WS05/28. VO 13.12.2005

Beispiel:

${\begin{vmatrix}1&\mathbf {2} &-1\\3&\mathbf {0} &1\\0&\mathbf {-1} &4\end{vmatrix}}=-3*{\begin{vmatrix}3&1\\0&4\end{vmatrix}}+0-(-1)*{\begin{vmatrix}2&-2\\3&1\end{vmatrix}}=-3*12+5=-31$

Rechenregeln für Rechnen mit Determinanten

• Beim Vertauschen zweier Spalten (oder Zeilen) ändert sich das Vorzeichen der Determinante
• Beim Multiplizieren einer Spalte (oder Zeile) mit einem Faktor $\lambda \neq 0$ ändert sich der Wert der Determinante um $\lambda$.
• Durch Multiplizieren einer beliebigen Spalte (oder Zeile) mit einem mit einem Faktor $\lambda \neq 0$ UND addieren zu einer anderen Spalte (oder Zeile) ändert sich der Wert der Determinante NICHT.

${\begin{vmatrix}A*B\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}*{\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}A^{T}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$

Wie berechnet man $A^{-1}$?

$A*A^{-1}=E_{n}$

${\begin{vmatrix}A*A^{-1}={\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}*{\begin{vmatrix}A^{-1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}E_{n}\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}$

$E_{n}={\begin{vmatrix}1&..&..0\\..&1&..&..\\0&..&..&1&..\end{vmatrix}}$

$|E_{n}|=1*|E_{n-1}=1*|E_{n-2}=...=1*|E_{1}|=1$

Daraus folgt: $|A^{-1}|={\frac {1}{|A|}}$

Satz: Eine nxn-Matrix A ist genau dan invertierbar, falls $|A|\neq 0$!

$A^{-1}={\frac {1}{|A|}}*\mathbf {({A_{ij}})^{T}}$

$\mathbf {({A_{ij}})^{T}}$ ist die Matrix, derem einträge alg. Komp. $(A_{ij}$ sind

$A={\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}}\qquad |A|=1$

$A_{11}=2,A_{21}=3,A_{12}=-3,A_{22}=5$

$A^{-1}={\frac {1}{|A|}}*({A_{ij}})^{T}={\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}}$

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

$A^{-1}={\frac {1}{a*d-b*c}}={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&d\end{bmatrix}}$

Lineare Gleichungssysteme

m Gleichungen, n Variablen

${\begin{aligned}{\text{ m Gleichungen }}\Leftrightarrow {\begin{cases}a_{11}*x_{1}+a_{12}*x_{2}+a_{13}*x_{3}+...+a_{1n}*x_{n}&=b_{1}\\a_{21}*x_{1}+a_{22}*x_{2}+a_{23}*x_{3}+...+a_{2n}*x_{n}&=b_{2}\\a_{m1}*x_{1}+a_{m2}*x_{2}+a_{m3}*x_{3}+...+a_{mn}*x_{n}&=b_{m}\\\end{cases}}\end{aligned}}$

$a_{ij}\in \mathbb {R} ,b_{i}\in \mathbb {R}$

Matrixschreibweise:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&..&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&..&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&..&a_{mn}\end{vmatrix}}$

(Vektoren der Variablen durch Vektoren)

${\vec {b}}={\begin{vmatrix}b_{1}\\b_{2}\\...\\b_{m}\end{vmatrix}}$

${\vec {c}}={\begin{vmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{m}\end{vmatrix}}$

LGS: $A*{\vec {x}}={\vec {b}}$

$(A|{\vec {b}})$ ... erweiterte Systemmatrix

Elementare Zeilen- und Spaltenumformungen: ändern an der Lösungsgesamtheit eines LGS nichts

• Vertauschen von Zeilen
• Vertauschen von Spalten UND Umbenennen der Variablen
• Mutiplikation einer Zeile mit einer Spalte $\lambda \neq 0$
• Multiplikation einer Zeile mit $\lambda$ UND Addition dieser zu einer anderen Zeile

Lösen eines LGS durch das Gauß-Verfahren

• Start mit $(A|{\vec {b}})$ - Falls A = 0 $\Rightarrow$ fertig
• sonst: bringe ein Element $\neq$ 0 durch Zeilen- oder Spaltentausch an die linke obere Ecke $\Rightarrow a_{11}\neq 0$
• Durch Addieren von Vielfachen der 1. Zeile zur 2. Zeile, 3. Zeile ... n-ten Zeile werden die Einträge $a_{21},a_{31},...,a_{m1}$ eliminiert (werden 0), d.h. elementare Umformung für i = 2,...,m:

i-te Zeite $-{\frac {a_{ij}}{a_{11}}}$ (1. Zeile)

${\begin{pmatrix}a_{11}&...&a_{1n}&|b_{1}\\a_{21}&...&a_{2n}&|b_{2}\\...&...&...&|...\\a_{m1}&...&a_{mn}&|b_{m}\\\end{pmatrix}}$

(wird nachgetragen)