TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differenzengleichungen 3

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen Differenzengleichung

$x_{n+1}=3^{2n}{x}_n+3^{n^2}$, $n=0,1,2\dots$

Hilfreiches

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Lösungsvorschlag

$x_n=x_n^{(h)}+x_n^{(p)}$

$\begin{array}{cc}{x}_n^{(h)}& =C\prod _{i=0}^{n-1}{3}^{2i}\\ & =C\prod _{i=0}^{n-1}{9}^i\\ & =C{9}^{\sum _{i=0}^{n-1}i}\\ & =C{9}^{\frac{(n-1)n}{2}}\\ & =C{3}^{2\frac{(n-1)n}{2}}\\ & =C{3}^{(n-1)n}\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{C}_{n+1}{3}^{((n+1)-1)(n+1)}& =3^{2n}\cdot C_n{3}^{(n-1)n}+3^{n^2}\\ C_{n+1}{3}^{n(n+1)}& =C_n{3}^{(n-1)n+2n}+3^{n^2}\\ C_{n+1}{3}^{n(n+1)}& =C_n{3}^{(n+1)n}+3^{n^2}\\ C_{n+1}& =C_n+\frac{3^{n^2}}{3^{n(n+1)}}\\ C_{n+1}& =C_n+3^{n^2-n^2-n}\\ C_{n+1}& =C_n+\frac{1}{3^n}\\ C_{n+1}& =1+\frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots +\frac{1}{3^{n-1}}+\frac{1}{3^n}\\ C_n& =1+\frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots +\frac{1}{3^{n-1}}\\ C_n& =\sum _{i=0}^{n-1}{\left(\frac{1}{3}\right)}^i\\ C_n& =\frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1+1}}{1-\frac{1}{3}}\\ C_n& =\frac{\frac{3-3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n}{3}}{\frac{3-1}{3}}\\ C_n& =\frac{3-3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n}{2}\\ C_n& =\frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^n})\end{array}$

$x_n^{(p)}=\frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^n})3^{(n-1)n}=\frac{3^{n^2-n+1}}{2}(1-\frac{1}{3^n})$

$\begin{array}{cc}{x}_n& =x_n^{(h)}+x_n^{(p)}\\ & =C{3}^{n^2-n}+\frac{3^{n^2-n+1}}{2}(1-\frac{1}{3^n})\end{array}$

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 09:51, 9. Jun 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 06:07, 18. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 79