Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 247. Vergleich

Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man berechne:

\int _{0}^{\infty }x\cdot e^{-x^{2}}\,dx

Theoretische Grundlagen: Integrieren - Substitutionsregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei $u=g(x)$ in einem Intervall $I$ stetig differenzierbar und $y=f(u)$ im Wertebereich von $u=g(x)$ stetig. Dann gilt für $x\in I$ bzw. $u\in W$ :

\int f[g(x)]\cdot g'(x)\,dx=\int f(u)\,du=F(u)=F[g(x)]

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei nun $u=-x^{2}$ , dann ist $dx=-{\frac {1}{2x}}\cdot du$ .

Nun geht es weiter mit: $\int _{0}^{\infty }-{\frac {1}{2}}\cdot e^{u}du=(-{\frac {1}{2}}\cdot e^{-x^{2}})|_{0}^{\infty }$

Das geht nun auch konform mit dem Mathematica-Online-Integrator - laut dem kommt (für $-\infty {\text{ bis }}\infty$ ) als Ergebnis $-{\frac {e^{-x^{2}}}{2}}$ raus

Vorüberlegungen (auch interessant)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Zitiert aus dem Thread von mir aus dem Informatikforum) --Markus Nemetz 12:06, 27. Mär 2006 (CEST)

Also, ich habe mal schnell ein ähnliches Beispiel gelöst und dachte mir ich mach mal schnell auch Beispiel 455 (MA1). Sitz also heute in der Früh um Zug und mach die erschreckende Vermutung, dass das gar net so einfach zu integrieren scheint ...

$\int _{0}^{\infty }x\,e^{x^{-2x}}\,dx$

OK, lassen wir mal das $x$ beiseite und betrachten wir $\int _{0}^{\infty }\,e^{x^{-2x}}\,dx$

Keine Chance dafür eine elementare Stammfunktion zu finden - der Beweis ist, wenn es wen interessiert, hier.

Ich setze als bekannt mal voraus, dass $e^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j!}}$ ist (siehe Web und einschlägige Literatur).

OK, nun setz ich also ein:

$\int _{0}^{\infty }x\,e^{x^{-2x}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {{-x^{2}}^{j}}{j!}}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}\cdot \int _{0}^{\infty }x^{2j}dx}{j!}}$

Keuch ... ok, nun schau ich weiter und weiß nun aus verschiedenen Quellen, dass

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {pi}}$

Umgelegt auf unser Beispiel sollte das heissen:

$\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {\sqrt {pi}}{2}}$

Keuch, keuch ... aber wie kommt man auf dieses?! Ich schau nun weiter und seh, Idass die Herleitung dazu in Verbindung mit der Gamma Funktion steht ...

OK, summa summarum konnt ich so einiges zu dem Beispiel rausfinden, aber nicht wirklich was erhellendes. Kann mir jemand mal einen weiteren Anstoss geben? Laut dem Mathematica-Online-Integrator kommt $-{\frac {e^{-x^{2}}}{2}}$ raus ... ich melde mal leise Zweifel an, denn mir ist aus Mathematica bekannt, dass $\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot e^{-x^{2}}={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}$