TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 148

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Man überprüfe, ob das Vektorfeld \vec{f} =(yz,(x-2y)z,(x-y)y) eine Stammfunktion besitzt. Wenn ja, gebe man alle Stammfunktionen an.

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Vorarbeit: Überprüfung der Integrabilitätsbedingung[Bearbeiten]

Ausgehend von \vec{f}= \begin{pmatrix}F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}yz \\ (x-2y)z \\ (x-y)y \end{pmatrix} prüfen wir, ob die Integrabilitätsbedingung zutrifft (ob ein Gradientenfeld existiert)

  • \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x} \qquad \Rightarrow \qquad z = z \qquad \surd
  • \frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{\partial F_z}{\partial x} \qquad \Rightarrow \qquad y = y \qquad \surd
  • \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial F_z}{\partial y} \qquad \Rightarrow \qquad x - 2y = x - 2y \qquad \surd

Berechnung der Stammfunktion[Bearbeiten]

Integration von F_x nach x[Bearbeiten]

  •  \int F_x \, dx = \int yz \, dx = xyz + c(y,z)

Dabei ist c(y,z) eine von y und z abhängige Integrationskonstante.

Einbeziehung von F_y[Bearbeiten]

 (xyz + c(y,z)) \frac{\partial}{\partial y} = F_y

xz + c'(y,z) = (x - 2y)z

c'(y,z) = -2yz

c(y,z) = \int -2yz \, dy = -y^2z + d(z)

Einbeziehung von F_z, Ergebnis[Bearbeiten]

nun ist  F(x,y,z) = xyz - y^2z + d(z)

(xyz - y^2z + d(z))\frac{\partial}{\partial z} = F_z

xy - y^2 + d'(z) = xy - y^2

d'(z) = 0

d(z) = \int 0 \, dz = 0 + C

F(x,y,z) = xyz - y^2z + C

Das ist dann auch das Ergebnis, C ist nun eine echte unabhängige Integrationskonstante!

(Probe mit partiell Ableiten - OK \surd)

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 59 / SS07 Beispiel 121