TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 79

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

B sei der durch x = 4, y = 1 und x + 2y = 2 berandete beschränkte Bereich der (x,y)-Ebene. Man berechne \iint_B 12x^2y^3 \,\mathrm dx\mathrm dy

Theoretische Grundlagen: Gebietsintegral[Bearbeiten]

Zwei Funktionen \varphi_1 und \varphi_2, welche ein Gebiet begrenzen (\varphi_1 "oben", \varphi_2 "unten") sind die Grenzen für die zu berechnende Fläche. Diese Funktionen seien explizit in der Form y = \dots gegeben.

Die niedrigere "x-Grenze" des Flächenstücks sei durch t_2 gegeben, die höhere durch t_1.

MA2 61.png

Nun gilt für das Gebietsintegral folgende Formel: \int_{t_2}^{t_1} \int_{\varphi_2}^{\varphi_1} f(x,y) \,\, dy \, \, dx

Lösungvorschlag[Bearbeiten]

x + 2y = 2 \Rightarrow x = 2 - 2y

x = 2 - 2y = 4 \Rightarrow y = -1

\begin{align} \iint_B 12x^2y^3 \,\mathrm dx\mathrm dy
&= \int_{y=-1}^1 \left( \int_{x=2-2y}^4 12x^2y^3 \,\mathrm dx \right) \mathrm dy \\
&= 12 \int_{y=-1}^1 \left( \int_{x=2-2y}^4 x^2y^3 \,\mathrm dx \right) \mathrm dy \\
&= 12 \int_{y=-1}^1 \left( \left. \frac{1}{3}x^3y^3 \right|_{x=2-2y}^4 \right) \,\mathrm dy \\
&= 4 \int_{-1}^1 4^3 \cdot y^3 - \left( 2-2y \right)^3 \cdot y^3 \,\mathrm dy \\
&= 4 \int_{-1}^1 64 \cdot y^3 - \left( 8 - 24y + 24y^2 - 8y^3 \right) \cdot y^3 \,\mathrm dy \\
&= 4 \int_{-1}^1 64y^3 - 8y^3 + 24y^4 - 24y^5 + 8y^6 \,\mathrm dy \\
&= 4 \int_{-1}^1 56y^3 + 24y^4 - 24y^5 + 8y^6 \,\mathrm dy \\
&= 4 \left. \left( \frac{56y^4}{4} + \frac{24y^5}{5} - \frac{24y^6}{6} + \frac{8y^7}{7} \right) \right|_{y=-1}^1 \\
&= \left. \left( 56y^4 + \frac{96y^5}{5} - \frac{96y^6}{6} + \frac{32y^7}{7} \right) \right|_{y=-1}^1 \\
&= \left( 56 + \frac{96}{5} - \frac{96}{6} + \frac{32}{7} \right) - \left( 56 - \frac{96}{5} - \frac{96}{6} - \frac{32}{7} \right) \\
&= 56 + \frac{96}{5} - \frac{96}{6} + \frac{32}{7} - 56 + \frac{96}{5} + \frac{96}{6} + \frac{32}{7} \\
&= \frac{1664}{35}
\end{align}


Lösungsvorschlag von mxr[Bearbeiten]

SS08 falls Link nicht geht, dann

SS08 Beispiel 157

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]

Informatikforum[Bearbeiten]