TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 419

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Der Gebrauchtwert einer Maschine betrage nach zwei Jahren noch 50%, nach vier Jahren noch 25% des Anschaffungspreises. Man gebe ein Polynom p(t) zweiten Grades als Funktion der Nutzungsdauer t an, das mit diesen empirischen Daten übereinstimmt und für t = 0 den Wert 100 (Neuwert mit 100%) annimmt. Ferner vergleiche man die Erfahrungswerte von 70% Gebrauchtwert nach einem Jahr und 35% nach drei Jahren mit den entsprechenden p-Werten.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Vorlage:Lagrange'sches Interpolationspolynom nach 2 Jahren: p(2) = 50

nach 4 Jahren: p(4) = 25

Neuwert: p(0) = 100

Punkte zwischen denen interpoliert wird:  (0,100), (2,50), (4,25)

Berechnung der Lagrange'schen Polynome:
\begin{align}L_0(x) 
&= \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} \\
&= \frac{(x-2)(x-4)}{(0-2)(0-4)} \\
&= \frac{x^2-2x-4x+8}{(-2)(-4)} \\
&= \frac{x^2-6x+8}{8}
\end{align}

\begin{align}L_1(x) 
&= \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \\
&= \frac{(x-0)(x-4)}{(2-0)(2-4)} \\
&= \frac{x^2-4x}{(2)(-2)} \\
&= \frac{4x-x^2}{4}
\end{align}

\begin{align}L_2(x) 
&= \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \\
&= \frac{(x-0)(x-2)}{(4-0)(4-2)} \\
&= \frac{x^2-2x}{(4)(2)} \\
&= \frac{x^2-2x}{8}
\end{align}

Einsetzen in das Lagrange'sche Interpolationspolynom:
\begin{align}p(x) 
&= y_0L_0(x) + y_1L_1(x) + y_2L_2(x) \\
&= 100 \cdot \frac{x^2-6x+8}{8} + 50 \cdot \frac{4x-x^2}{4} + 25 \cdot \frac{x^2-2x}{8} \\
&= \frac{(100-100+25) \cdot x^2 + (-600+400-50) \cdot x + 8}{8} \\
&= \frac{25 x^2 - 250 x + 800}{8} \\
&= \frac{25}{8} x^2 - \frac{125}{4} x + 100
\end{align}

Nach einem Jahr beträgt der Gebrauchtwert der Maschine laut unserer interpolierten Funktion p(1) = 71.7875. Das ist sehr nahe an dem Erfahrungswert von 70%.

Nach 3 Jahren beträgt der Gebrauchtwert der Maschine laut unserer interpolierten Funktion p(3) = 34.375. Das ist ebenfalls sehr nahe an dem Erfahrungswert von 35%.

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

Karigl Beispielsammlung WS04 Beispiel 58