TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 79

$B$ sei der durch $x=4$, $y=1$ und $x+2y=2$ berandete beschränkte Bereich der $(x,y)$-Ebene. Man berechne ${\iint }_{B}12x^2{y}^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

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Theoretische Grundlagen: Gebietsintegral

Zwei Funktionen ${\phi }_1$ und ${\phi }_2$, welche ein Gebiet begrenzen (${\phi }_1$ "oben", ${\phi }_2$ "unten") sind die Grenzen für die zu berechnende Fläche. Diese Funktionen seien explizit in der Form $y=\dots$ gegeben.

Die niedrigere "x-Grenze" des Flächenstücks sei durch $t_2$ gegeben, die höhere durch $t_1$.

Nun gilt für das Gebietsintegral folgende Formel: ${\int }_{t_2}^{t_1}{\int }_{{\phi }_2}^{{\phi }_1}f(x,y)dydx$

Lösungvorschlag

$x+2y=2\Rightarrow x=2-2y$

$x=2-2y=4\Rightarrow y=-1$

$\begin{array}{cc}{\iint }_{B}12x^2{y}^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_{y=-1}^1\left({\int }_{x=2-2y}^{4}12x^2{y}^3\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y\\ & =12{\int }_{y=-1}^1\left({\int }_{x=2-2y}^4{x}^2{y}^3\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y\\ & =12{\int }_{y=-1}^1\left({\frac{1}{3}{x}^3{y}^3|}_{x=2-2y}^4\right)\mathrm{d}y\\ & =4{\int }_{-1}^1{4}^3\cdot y^3-{(2-2y)}^3\cdot y^3\mathrm{d}y\\ & =4{\int }_{-1}^{1}64\cdot y^3-(8-24y+24y^2-8y^3)\cdot y^3\mathrm{d}y\\ & =4{\int }_{-1}^{1}64y^3-8y^3+24y^4-24y^5+8y^6\mathrm{d}y\\ & =4{\int }_{-1}^{1}56y^3+24y^4-24y^5+8y^6\mathrm{d}y\\ & =4{(\frac{56y^4}{4}+\frac{24y^5}{5}-\frac{24y^6}{6}+\frac{8y^7}{7})|}_{y=-1}^1\\ & ={(56y^4+\frac{96y^5}{5}-\frac{96y^6}{6}+\frac{32y^7}{7})|}_{y=-1}^1\\ & =(56+\frac{96}{5}-\frac{96}{6}+\frac{32}{7})-(56-\frac{96}{5}-\frac{96}{6}-\frac{32}{7})\\ & =56+\frac{96}{5}-\frac{96}{6}+\frac{32}{7}-56+\frac{96}{5}+\frac{96}{6}+\frac{32}{7}\\ & =\frac{1664}{35}\end{array}$

Lösungsvorschlag von mxr

SS08 falls Link nicht geht, dann

SS08 Beispiel 157

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 11:29, 10. Mai 2006 (CEST)

Informatikforum

• Beispiel 61 (MA2) --Markus Nemetz 08:29, 16. Mai 2006 (CEST)
• UE Runde 8 (18.05.06), Gruppe 12, Allg. Tipps --Markus Nemetz 11:29, 10. Mai 2006 (CEST)
• Diskussion Informatik-Forum WS08 Beispiel 33 Karigl