TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 129

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Man bestimme die Bogenlänge der Kurve

x(t)=\begin{pmatrix}t^2\\\cos t\\\sin t\end{pmatrix},\quad0\leq t\leq2\pi.
Hinweise:
  • Substitution t=\tfrac{\sinh u}{2}
  • \cosh^2u-\sinh^2u=1\quad\forall u
  • \cosh u=\tfrac{e^u+e^{-u}}{2}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Bogenlänge
Bogenlänge[Bearbeiten]

Bogenlänge einer ebenen Kurve: s=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'^2}dx


Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung:  \vec x (t) = \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)
s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'^2+y'^2}dt



Bogenlänge einer Raumkurve: s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}dt

(sin_{(x)})^2+(cos_{(x)})^2=1

Lösungsvorschlag von Sonni (ohne sinh etc.)[Bearbeiten]

s=\int_0^{2\pi} \sqrt{(2t)^2+((-sin_{(t)})^2+(cos_{(t)})^2)}dt =\int_0^{2\pi} \sqrt{4t^2+1}dt

  • Berechnung des Integrals mittels folgender Formel:

\int \sqrt{4t^2+1}dt = (Q*t+P)*\sqrt{4t^2+1}+R*\int \frac{1}{\sqrt{4t^2+1}}dt

\sqrt{4t^2+1} = Q*\sqrt{4t^2+1}+(Q*t+P)*\frac{8t}{2*\sqrt{4t^2+1}}+\frac{R}{\sqrt{4t^2+1}}    | * \sqrt{4t^2+1}

4t^2+1 = Q*(4t^2+1)+4t*(Qt+P)+R

4t^2+1 = t^2*(8Q)+t*(4P)+1*(Q+R)

  • Es ergeben sich folgende Werte um die Gleichung zu erfüllen:

Q=\frac{1}{2}, Q+R=1 \rightarrow R=\frac{1}{2}, P=0

Die Werte von Q, R und P einsetzen:

\int \sqrt{4t^2+1}dt = \frac{1}{2}*\sqrt{4t^2+1}+\frac{1}{2}*\int \frac{1}{\sqrt{4t^2+1}}dt

  • Weitere Vorgangsweise:

\frac{1}{\sqrt{4t^2+1}}dt berechnen und einsetzen.

Hilfreich ist folgende Substition: z=\frac{t}{\frac{1}{2}}=2t, dz=2dt

Links[Bearbeiten]