TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 129

Man bestimme die Bogenlänge der Kurve

$x(t)={\begin{pmatrix}t^{2}\\\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},\quad 0\leq t\leq 2\pi$.

Hinweise:

• Substitution $t={\tfrac {\sinh u}{2}}$
• $\cosh ^{2}u-\sinh ^{2}u=1\quad \forall u$
• $\cosh u={\tfrac {e^{u}+e^{-u}}{2}}$

Hilfreiches

Bogenlänge

Bogenlänge

Bogenlänge einer ebenen Kurve: $s=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx$

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Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung: ${\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)$
$s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}dt$

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Bogenlänge einer Raumkurve: $s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}dt$

$(sin_{(x)})^{2}+(cos_{(x)})^{2}=1$

Lösungsvorschlag von Sonni (ohne sinh etc.)

s=$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(2t)^{2}+((-sin_{(t)})^{2}+(cos_{(t)})^{2})}}dt$ =$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {4t^{2}+1}}dt$

• Berechnung des Integrals mittels folgender Formel:

$\int {\sqrt {4t^{2}+1}}dt=(Q*t+P)*{\sqrt {4t^{2}+1}}+R*\int {\frac {1}{\sqrt {4t^{2}+1}}}dt$

${\sqrt {4t^{2}+1}}=Q*{\sqrt {4t^{2}+1}}+(Q*t+P)*{\frac {8t}{2*{\sqrt {4t^{2}+1}}}}+{\frac {R}{\sqrt {4t^{2}+1}}}|*{\sqrt {4t^{2}+1}}$

$4t^{2}+1=Q*(4t^{2}+1)+4t*(Qt+P)+R$

$4t^{2}+1=t^{2}*(8Q)+t*(4P)+1*(Q+R)$

• Es ergeben sich folgende Werte um die Gleichung zu erfüllen:

$Q={\frac {1}{2}},Q+R=1\rightarrow R={\frac {1}{2}},P=0$

Die Werte von Q, R und P einsetzen:

$\int {\sqrt {4t^{2}+1}}dt={\frac {1}{2}}*{\sqrt {4t^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}*\int {\frac {1}{\sqrt {4t^{2}+1}}}dt$

• Weitere Vorgangsweise:

${\frac {1}{\sqrt {4t^{2}+1}}}dt$ berechnen und einsetzen.

Hilfreich ist folgende Substition: $z={\frac {t}{\frac {1}{2}}}=2t,dz=2dt$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 8 (ähnliches Beispiel)