TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 129

Man bestimme die Bogenlänge der Kurve

$x(t)=\left(\begin{array}{c}{t}^2\\ \cos t\\ \sin t\end{array}\right),0\le t\le 2\pi$.

Hinweise:

• Substitution $t=\frac{\sinh u}{2}$
• ${\cosh }^{2}u-{\sinh }^{2}u=1\mathrm{\forall }u$
• $\cosh u=\frac{e^u+e^{-u}}{2}$

Hilfreiches

Bogenlänge

Bogenlänge

Bogenlänge einer ebenen Kurve: $s={\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y{\text{'}}^2}dx$

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Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung: $\overrightarrow{x}(t)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
$s={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}dt$

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Bogenlänge einer Raumkurve: $s={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2}dt$

$(si{n}_{(x)}{)}^2+(co{s}_{(x)}{)}^2=1$

Lösungsvorschlag von Sonni (ohne sinh etc.)

s=${\int }_0^{2\pi }\sqrt{(2t{)}^2+((-si{n}_{(t)}{)}^2+(co{s}_{(t)}{)}^2)}dt$ =${\int }_0^{2\pi }\sqrt{4t^2+1}dt$

• Berechnung des Integrals mittels folgender Formel:

$\int \sqrt{4t^2+1}dt=(Q\ast t+P)\ast \sqrt{4t^2+1}+R\ast \int \frac{1}{\sqrt{4t^2+1}}dt$

$\sqrt{4t^2+1}=Q\ast \sqrt{4t^2+1}+(Q\ast t+P)\ast \frac{8t}{2\ast \sqrt{4t^2+1}}+\frac{R}{\sqrt{4t^2+1}}|\ast \sqrt{4t^2+1}$

$4t^2+1=Q\ast (4t^2+1)+4t\ast (Qt+P)+R$

$4t^2+1=t^2\ast (8Q)+t\ast (4P)+1\ast (Q+R)$

• Es ergeben sich folgende Werte um die Gleichung zu erfüllen:

$Q=\frac{1}{2},Q+R=1\to R=\frac{1}{2},P=0$

Die Werte von Q, R und P einsetzen:

$\int \sqrt{4t^2+1}dt=\frac{1}{2}\ast \sqrt{4t^2+1}+\frac{1}{2}\ast \int \frac{1}{\sqrt{4t^2+1}}dt$

• Weitere Vorgangsweise:

$\frac{1}{\sqrt{4t^2+1}}dt$ berechnen und einsetzen.

Hilfreich ist folgende Substition: $z=\frac{t}{\frac{1}{2}}=2t,dz=2dt$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 8 (ähnliches Beispiel)